Question

14．下列四個圖形中，陰影部分的面積分別為P、Q，則四個圖形中P、Q的面積分別相等的圖形有3個．

Answer 1

分析 圖①中，由正方形的性質得出OA=OD=OB=OC，∠OBM=∠OCN=45°，AC⊥BD，得出陰影P的面積=△BOC的面積，證出∠BOM=∠CON，由ASA證明△BOM≌△CON，得出△BOM的面積=△CON的面積，即可得出陰影P的面積=陰影Q的面積；
圖②中，由反比例函數得出矩形AMOC的面積=矩形BDON的面積，則矩形AMNE的面積=矩形BDCE的面積，由矩形的性質即可得出陰影P的面積=陰影Q的面積；
圖③中，通過計算得出扇形AOB的面積=兩個小半圓的面積和，即可得出陰影P的面積=陰影Q的面積；
圖④中，由大圓和小圓的半徑的關系不確定，得出陰影P的面積和陰影Q的面積關系不確定；即可得出結論．

解答 解：圖①中，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴OA=OD=OB=OC，∠OBM=∠OCN=45°，AC⊥BD，
∴陰影P的面積=△BOC的面積，∠BOC=90°，
∵OM⊥ON，
∴∠MON=90°，
∴∠BOM=∠CON，
在△BOM和△CON中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OBM=∠OCN}&{\;}\\{OB=OC}&{\;}\\{∠BOM=∠CON}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BOM≌△CON（ASA），
∴△BOM的面積=△CON的面積，
∴陰影Q的面積=△BOC的面積，
∴陰影P的面積=陰影Q的面積；
圖②中，
∵A和B是反比例函數圖象上的點，
∴矩形AMOC的面積=矩形BDON的面積，
∴矩形AMNE的面積=矩形BDCE的面積，
∵陰影P的面積=$\frac{1}{2}$矩形AMNE的面積，陰影Q的面積=$\frac{1}{2}$矩形BDCE的面積，
∴陰影P的面積=陰影Q的面積；圖③中，
∵扇形AOB的面積=$\frac{90}{360}$×πa²=$\frac{1}{4}$πa²，兩個小半圓的面積和=2×$\frac{1}{2}$×π×（$\frac{1}{2}$a）²=$\frac{1}{4}$πa²，
∴扇形AOB的面積=兩個小半圓的面積和，
∴陰影P的面積=陰影Q的面積；
∵大圓和小圓的半徑的關系不確定，
∴陰影P的面積和陰影Q的面積關系不確定；
∴四個圖形中P、Q的面積分別相等的圖形有3個；
故答案為：3．

點評 本題是面積及等積變換題目，考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質、反比例函數與矩形面積的關系、扇形及圓的面積公式等知識；本題綜合性強，有一定難度，特別是圖③中，通過計算得出扇形AOB的面積=兩個小半圓的面積和才能得出結論．