Question

如圖，在菱形ABCD中，AC=8cm，BD=6，E為CD邊中點，點E到BD的距離等于

1

2

OC，點P從點A開始沿AC方向以每秒2cm的速度運動，同時，點Q從點D出發沿DB方向以每秒1cm的速度運動，當點P到達點C時，P，Q同時停止運動，設運動的時間為x秒，當點P在線段AO上運動時，
①請用含x的代數式表示OP的長度；
②若記四邊形PBEQ的面積為y，求y關于x的函數關系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；
③是否存在時刻x，四邊形PBEQ的面積為13？若存在，求出滿足條件的x的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：①根據菱形的性質得出AO，BO的長，再利用P點運動速度得出OP的長即可；
②根據首先求出BQ的長，再利用y=S_△BPQ+S_△BEQ，得出答案即可；
③根據②中所求，結合一元二次方程的解法得出即可．

解答：解：①∵在菱形ABCD中，AC=8cm，BD=6，
∴AO=CO=4cm，BO=DO=3cm，AC⊥BD，
∴AD=

32+42

=5（cm），
∵點P在線段AO上運動，點P從點A開始沿AC方向以每秒2cm的速度運動，
∴AP=2x，
∴OP=4-2x；

②∵四邊形PBEQ的面積為y，
過點E作EH⊥BD，∵E為CD邊中點，∴EH為△COD的中位線，
∴EH=

1

2

CO=2cm，
∵DQ=x，∴BQ=6-x，
∴y=S_△BPQ+S_△BEQ=

1

2

×（6-x）（4-2x）+

1

2

×（6-x）×2
=x²-9x+18；

③當四邊形PBEQ的面積為13時，
則13=x²-9x+18，
整理得出：x²-9x+5=0，
解得：x₁=

9+ 61

2

（此時P點在OC上，不合題意舍去），x₂=

9- 61

2

，
故x=

9- 61

9

時，四邊形PBEQ的面積為13．

點評：此題主要考查了四邊形的綜合應用以及菱形的性質和一元二次方程的解法等知識，根據已知得出OP，BQ的長是解題關鍵．