Question

（2011•蓬江區二模）（1）計算：如圖1，直徑為a的三等圓⊙O₁、⊙O₂、⊙O₃兩兩外切，切點分別為A、B、C，求O₁A的長（用含a的代數式表示）．

（2）探索：若干個直徑為a的圓圈分別按如圖2所示的方案一和如圖3所示的方案二的方式排放，探索并求出這兩種方案中n層圓圈的高度h_n和

h

′ n

（用含n、a的代數式表示）．

Answer 1

分析：（1）根據等邊三角形的性質以及勾股定理進行求解；
（2）n個圓的直徑即為圖2中的高，根據等邊三角形的性質和勾股定理進行計算圖3中的高．

解答：解（1）∵⊙O₁、⊙O₂、⊙O₃兩兩外切，
∴O₁O₂=O₂O₃=O₁O₃=a，
又∵O₂A=O₃A，
∴O₁A⊥O₂O₃，
∴O₁A=

a2- 1 4

a2，
=

3

2

a；

（2）如圖2，h_n=na；
如圖3，∵AB=BC=AC=a，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AD=

3

2

a，
∴

h

′ n

=

3

2

(n-1)a+a．

點評：此題考查了相切兩圓的性質、等邊三角形的判定與性質以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用．