Question

（2006•荊州）已知y關于x的函數：y=（k-2）x²-2（k-1）x+k+1中滿足k≤3．
（1）求證：此函數圖象與x軸總有交點；
（2）當關于z的方程有增根時，求上述函數圖象與x軸的交點坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題可將函數分成一次函數和二次函數兩種情況討論：當k=2時，函數為一次函數，與x軸一定有交點；
當k≠2時，函數為二次函數，讓y=0，根據根與系數的關系以及k的取值范圍我們可判斷出此時的方程是否有解，如果有解，則必與x軸有交點．
（2）這個方程有增根，那么增根必為z=3，讓方程去分母后，將z=3代入化簡而得的整式方程中求出k的值，就可得出函數的關系式，有了函數關系式就能求出其與x軸的交點了．
解答：解：（1）當k=2時，函數為y=-2x+3，圖象與x軸有交點．
當k≠2時，△=4（k-1）²-4（k-2）（k+1）=-4k+12；
當k≤3時，△≥0，此時拋物線與x軸有交點．
因此，k≤3時，y關于x的函數y=（k-2）x²-2（k-1）x+k+1的圖象與x軸總有交點．

（2）關于z的方程去分母得：z-2=k+2z-6，k=4-z．
由于原分式方程有增根，其根必為z=3．這時k=1
這時函數為y=-x²+2．它與x軸的交點是（-，0）和（，0）．
點評：本題綜合考查了分式方程，二次函數與一元二次方程的綜合應用，要注意（2）中要學會利用增根來求解．