Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°,∠A＞∠B.

（1）利用尺規(guī)作圖在BC邊上找一點P，使得點P到AB的距離等于PC的長度（不寫作法，保留作圖痕跡）；

（2）在（1）的條件下，如果點P恰好又在線段AB的垂直平分線上,求∠B的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）作圖見解析；（2）30°.

【解析】試題分析:(1)因為角平分線上的點到角兩邊的距離相等,所以要在BC上找一點P,使得點P到AB的距離等于PC的長度,則作角∠BAC的角平分線,角平分線與BC的交點即所求點P,(2)利用垂直平分線的性質(zhì)可得:PA=PB,所以∠B=∠PAB,又因為(1)中AP是∠BAC的角平分線,所以∠B=∠PAB=∠BAC,因為∠BAC+∠B=90°,所以3∠B=90°,即∠B=30°.

試題解析:(1)如圖所示,

(2) 因為(1)中AP是∠BAC的角平分線,

所以∠PAB=∠BAC,即∠BAC=2∠PAB,

又因為點P在線段AB的垂直平分線上,

所以PA=PB,

所以∠B=∠PAB,即∠BAC=2∠B,

又因為∠BAC+∠B=90°,

所以3∠B=90°,即∠B=30°.

點睛:本題主要考查角平分線的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì),解決本題的關鍵是能夠熟練利用角平分線的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì).