Question

如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=6米，BC=8米，動點P以2米/秒的速度從A點出發，沿AC向點C移動．同時，動點Q以1米/秒的速度從C點出發，沿CB向點B移動．當其中有一點到達終點時，它們都停止移動．設移動的時間為t秒．
（1）①當t=2.5秒時，求△CPQ的面積；
②求△CPQ的面積S（平方米）關于時間t（秒）的函數解析式；
（2）在P，Q移動的過程中，當△CPQ為等腰三角形時，寫出t的值；
（3）以P為圓心，PA為半徑的圓與以Q為圓心，QC為半徑的圓相切時，求出t的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）過點P，作PD⊥BC于D，利用30度的銳角所對的直角邊等于斜邊的一半，即可求得PD的長，然后利用三角形的面積公式即可求解；
（2）分PC=QC和PC=QC兩種情況進行討論，求解；
（3）PA為半徑的圓與以Q為圓心，QC為半徑的圓相切時，分為兩圓外切和內切兩種情況進行討論．在直角△PFQ中利用勾股定理即可得到關于t的方程，從而求解．
解答：解：在Rt△ABC中，AB=6米，BC=8米，∴AC=10米
由題意得：AP=2t，則CQ=t，則PC=10-2t
（1）①過點P，作PD⊥BC于D，
∵t=2.5秒時，AP=2×2.5=5米，QC=2.5米
∴PD=AB=3米，∴S=•QC•PD=3.75平方米；
②過點Q，作QE⊥PC于點E，
易知Rt△QEC∽Rt△ABC，
∴=，
解得：QE=，
∴S=•PC•QE=•（10-2t）•=-+3t（0＜t≤5）

（2）當t=秒（此時PC=QC），秒（此時PQ=QC），或秒（此時PC=PQ）時，△CPQ為等腰三角形；
∵△ABC中，∠B=90°，AB=6米，BC=8米，
∴AC===10，
當PC=QC時，PC=10-2t，QC=t，即10-2t=t，解得t=秒；
當PQ=CQ時，如圖1，過點Q作QE⊥AC，則CE=，CQ=t，可證△CEQ∽△CBA，故=，即=，解得t=秒；
當PC=PQ時，如圖2，過點P作PE⊥BC，則CE=，PC=10-2t，可證△PCE∽△ACB，故=，即=，解得t=秒．

（3）如圖3，過點P作PF⊥BC于點F．
則△PCF∽△ACB
∴==，即==
∴PF=6-，FC=8-
則在直角△PFQ中，PQ²=PF²+FQ²=（6-）²+（8--t）²=t²-56t+100
如圖4，當⊙P與⊙Q外切時，有PQ=PA+QC=3t，此時PQ²=t²-56t+100=9t²，
整理得：t²+70t-125=0
解得：t₁=15-35，t₂=-15-35＜0（舍去）
故當⊙P與⊙Q外切時，t=（15-35）秒；
當⊙P與⊙Q內切時，PQ=PA-QC=t，此時，
∵PQ²=PF²+FQ²，
∴PQ²=t²-56t+100=t²
整理得：9t²-70t+125=0，解得：t₁=，t₂=5
故當⊙P與⊙Q內切時，t=秒或5秒．
點評：本題主要考查了相似三角形的性質，以及圓和圓的位置關系，正確把圖形之間的位置關系轉化為線段之間的相等關系是解題的關鍵．