Question

如圖，半圓O的直徑AD=12cm，AB，BC，CD分別與半圓O切于點A，E，D．
（1）設AB=x，CD=y，求y與x之間的函數關系式；
（2）如果CD=6，判斷四邊形ABCD的形狀；
（3）如果AB=4，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OB，OC；易得OB⊥OC；進而根據勾股定理可得：OB²=OA²+AB²；OC²=OD²+CD²；再根據切線長定理可得：BE、CE與AB、CD的長相等；將上述關系聯立可得：（x+y）²=36+x²+36+y²；化簡整理可得答案；
（2）若CD=6，根據半圓O的直徑AD=12cm；即OE=6；易得四邊形ABCD的形狀是矩形；
（3）過點B作BF⊥CD于F，易得BA⊥AD．又CD⊥AD，進而可得四邊形ABFD是矩形，故CB=CE+EB=13，在Rt△CFB中，得BF=12，故AD=12，故可得半圓與陰影部分的面積．
解答：解：（1）連接OB、OE、OC
∵AB，BC分別與半圓O切于點A，E，∴BE=BA，∠OEB=∠OAB=90°
∴△OAB≌△OEB
∴∠EOB=∠AOB
同理，∵BC，CD分別與半圓O切于點E，D
∴△COE≌△COD
∴∠COD=∠COE
∵∠AOB+∠EOB+∠COE+∠COD=180°
∴∠BOE+∠COE=90°
∴OB⊥OC
∵OB²=OA²+AB²=36+x²；OC²=OD²+CD²=36+y²；
∵BE=AB=x，CE=CD=y；BC=x+y．
∴（x+y）²=36+x²+36+y²；
∴xy=36；
化簡可得：y=；

（2）若CD=6，又有半圓O的直徑AD=12cm；即OE=6；故OE∥DC∥AB．
則四邊形ABCD的形狀是矩形；

（3）過點B作BF⊥CD于F，
∵BA是半圓O的切線，AD是半圓O的直徑，
∴BA⊥AD．
又∵CD⊥AD，
∴四邊形ABFD是矩形，
∴BF=AD=12，FD=BA=4．
∴CF=5，
∵CB、BA和CD都是半圓O的切線，
∴CE=CD=9，BE=BA=4．
∴CB=CE+EB=13，
∵S_半圓=π×6²=18π，S_梯形ABCD=（4+9）•12=78，
∴S_陰=S_梯-S_半圓=78-18π
說明：（1）（4分）；（2）（3分）；（3）（5分）．
點評：此題綜合考查了反比例函數，正比例函數等多個知識點．此題難度稍大，綜合性比較強，注意對各個知識點的靈活應用．