Question

如圖，在△ABC中，∠C=2∠B，D是BC上的一點，且AD⊥AB，點E是BD的中點，連接AE．
（1）求證：∠AEC=∠C；
（2）求證：BD=2AC；
（3）若AE=6.5，AD=5，那么△ABE的周長是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）在Rt△ADB中，點E是BD的中點；根據直角三角形的性質，可得BE=AE，故∠AEC=2∠B=∠C；
（2）同（1），可得BD=2AE，再根據（1）的結論可得AE=AC，代換可得結論；
（3）根據勾股定理可得AB的長，結合（1）（2）的結論，可得答案．
解答：（1）證明：∵AD⊥AB，
∴△ABD為直角三角形．
又∵點E是BD的中點，
∴AE=BD．
又∵BE=BD，
∴AE=BE，∴∠B=∠BAE．
又∵∠AEC=∠B+∠BAE，
∴∠AEC=∠B+∠B=2∠B．
又∵∠C=2∠B，
∴∠AEC=∠C．（4分）

（2）證明：由（1）可得AE=AC，
又∵AE=BD，
∴BD=AC，
∴BD=2AC．（4分）

（3）解：在Rt△ABD中，AD=5，BD=2AE=2×6.5=13
∴（1分）
∴△ABE的周長=AB+BE+AE=12+6.5+6.5=25．（1分）
點評：本題考查直角三角形的有關性質、勾股定理及三角形的內角和定理．