Question

如圖，已知P為銳角△ABC內一點，過P分別作BC，AC，AB的垂線，垂足分別為D，E，F，BM為∠ABC的平分線，MP的延長線交AB于點N．如果PD=PE+PF，求證：CN是∠ACB的平分線．

Answer 1

證明：如圖，作MM₁⊥BC于點M₁，MM₂⊥AB于點M₂，NN₁⊥BC于點N₁，NN₂⊥AC于點N₂．
設NP=λNM，
∵NN₁∥PD∥MM₁，
∴N₁D=λN₁M₁．
若NN₁＜MM₁，如圖，作NH⊥MM₁，分別交MM₁，PD于點H，H₁，
則△NPH₁∽△NMH，
∴，
∴PH₁=λMH，
∴PD=PH₁+H₁H=λMH+NN₁=λ（MM₁-NN₁）+NN₁=λMM₁+（1-λ）NN₁．
若NN₁=MM₁，則PD=NN₁=MM₁=λMM₁+（1-λ）NN₁．
若NN₁＞MM₁，
同理可證PD=λMM₁+（1-λ）NN₁．
∵PE∥NN₂，∴，
∴PE=（1-λ）NN₂．
∵PF∥MM₂，
∴，
∴PF=λMM₂．
又∵PD=PE+PF，
∴λMM₁+（1-λ）NN₁=λMM₂+（1-λ）NN₂．
又∵BM是∠ABC的平分線，
∴MM₁=MM₂，
∴（1-λ）NN₁=（1-λ）NN₂．
顯然λ≠1，即1-λ≠0，
∴NN₁=NN₂，
∴CN是∠ACB的平分線．
分析：如圖，作MM₁⊥BC于點M₁，MM₂⊥AB于點M₂，NN₁⊥BC于點N₁，NN₂⊥AC于點N₂．設NP=λNM，利用平行線分線段成比例證明N₁D=λN₁M₁．作NH⊥MM₁，分別交MM₁，PD于點H，H₁，可得△NPH₁∽△NMH，利用相似三角形的性質可得：λMM₁+（1-λ）NN₁．同理可證明PD=λMM₁+（1-λ）NN₁．再由已知條件即可證明CN是∠ACB的平分線．
點評：本題綜合性的考查了平行線分線段成比例、相似三角形的判定和相似三角形的性質以及角平分線的判定方法，題目的難度很大，對學生的解題能力要求很高．