Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點D是BC邊上的中點，DE⊥DF，AD與EF相交于點G．
（1）試判斷∠AGF與∠AED的大小關系，證明你的結論．
（2）若BE=12，CF=5，求△DEF的面積．

Answer 1

分析：（1）根據等腰直角三角形的性質，點D是BC邊上的中點，三線合一，再根據等角的余角相等，得出△DEF等腰直角三角形，從而得出∠AGF=∠AED；
（2）利用（1）得出得結論，同時利用勾股定理計算出DE、DF即可得出△DEF的面積．

解答：（1）∠AGF=∠AED，
證明：∵AB=AC，∠BAC=90，點D是BC邊上的中點，三線合一，
∴BD=AD，∠B=∠DAF，BD⊥AD，
又∴DE⊥DF，
根據等角的余角相等，
∴∠BDE=∠ADF，
∴△BDE≌△ADF，
∴DE=DF，
∴△DEF等腰直角三角形，
∴∠DEF=45°，
又∵∠AGF=∠EAG+∠AEG，∠EAG=∠DEF=45°，
∴∠AGF=∠DEF+∠AEG=∠AED；

（2）解：由（1）得AB=AC=BE+CF=12+5=17，
∴AE=5，AF=12，
根據勾股定理得EF=13，
又∵△DEF等腰直角三角形，
∴DE=DF=

13 2

2

，
∴S_△DEF=

1

2

×

13 2

2

×

13 2

2

，
=

169

4

．

點評：本題主要考查了等腰直角三角形的性質、全等三角形的判定及性質、勾股定理、三角形面積公式，難度適中．