Question

如圖，在△ABC中，CD⊥AB，且CD²=AD•DB，AE平分∠CAB交CD于F，∠EAB=∠B，CN=BE．①CF=BN；②∠ACB=90°；③FN∥AB；④AD²=DF•DC．則下列結論正確的是（　　）

• A、①②④
• B、②③④
• C、①②③④
• D、①③

Answer 1

分析：根據已知條件可證△ADC∽△CDB，得出∠ACB=90°．根據等量關系及等腰三角形的性質得到CF=BN．根據同位角相等，證明FN∥AB．證明△ADF∽△CDA，根據相似三角形的性質得出AD²=DF•DC．

解答：解：①∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠CDB=90°，
∵CD²=AD•DB，∴

CD

AD

=

DB

CD

，
∴△ADC∽△CDB，
∴∠ACD=∠B，
∴∠ACB=90°，故本選項正確；
②∵AE平分∠CAB
∴∠CAE=∠DAF，
∴△CAE∽△DAF，
∴∠AFD=∠AEC，
∴∠CFE=∠AEC，
∴CF=CE，
∵CN=BE，∴CE=BN，
∴CF=BN，故本選項正確；
③∵∠EAB=∠B，
∴EA=EB，
∵FA=FC=BN，∠FEN=∠AEB，
∴△EFN∽△EAB，
∴∠EFN=∠EAB，
∴FN∥AB，故本選項正確；
④易證△ADF∽△CDA，
∴AD²=DF•DC，故本選項正確；
故選C．

點評：本題綜合考查了相似三角形的判定和性質，平行線的判定，等腰三角形的性質等知識點．