Question

【題目】如圖1，在中，，，點是上一點，過點作于點，連接，，點，分別是，的中點，連接.

（1）問題發現

圖1中，線段與線段之間的數量關系為_____________；

（2）類比探究

將繞點順時針旋轉到圖2的位置，連接，.試問（1）中的結論是否仍然成立？請判斷并說明理由；

（3）問題解決

若，將繞點在平面內順時針旋轉，請直接寫出線段的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）結論成立，證明詳見解析；（3）的最大值為4.

【解析】

（1）如圖1，取的中點P，連接，，先根據三角形中位線定理得，，，進一步即得，再證明為等腰直角三角形，即可得到與之間的數量關系；

（2）類似（1）的證法，取的中點，連接，，如圖2，先根據兩邊成比例且夾角相等證明∽，從而得出，；再結合三角形中位線定理和平行線的性質得出∠NPM=45°，，進而可得為等腰直角三角形，問題即得解決；

（3）如圖3，由題意可知點在以為圓心、為半徑的圓上運動，顯然當C、A、E三點共線且C、E在點A的兩側時CE最大，求出CE的最大值后，由（2）的結論即得MN的最大值.

解：（1）關系為：.

證明：如圖1，設點為的中點，連接，.

∵點，分別是，的中點，

∴由三角形中位線定理可得，，

且.

由已知可得，所以.

過點作于點.

則△PNH是等腰直角三角形，∴HP=HN=PN，

又∵，

∴.

所以為等腰直角三角形，.

所以.

（2）結論仍然成立.

理由如下：如圖2，設的中點為，連接，.

∵和均為等腰直角三角形，

∴，，，

∴，.

∴∽.

∴，.

∵，分別為和的中位線，

∴，且，.

∴，.

∴

=，且.

由（1）的證明知為等腰直角三角形.

∴. ∴.

（3）的最大值為4.

如圖3，點在以為圓心、為半徑的圓上運動，當C、A、E三點共線且C、E在點A的兩側時CE最大，∵，∴AE=3，所以的最大值=5+3=8.

所以的最大值為4.