Question

正方形ABCD中，E、F分別為邊BC、DC上的點，若∠BAE=30°，∠DAF=15°．
（1）試猜想EF、BE、DF之間的數量關系，并證明；
（2）若正方形的邊長為，求△AEF的面積；
（3）若連接BD，交AE于M、交AF于N，請探究線段BM、MN、DN之間的數量關系，并給出證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）在證明兩條線段的和等于第三條線段時，往往利用截長補短的方法解決，故延長CB至G，使BG=DF，連接AG，然后證得△ABG≌△ADF 與△AGE≌△AFE，即可證得EF=BE+DF；
（2）過點A作AH⊥EF于H，由∠BAE=30°，∠ABE=90°，AB=，即可求得BE的長，然后由△AGE≌△AFE與△ABE≌△AHE，求得AH的長，繼而求得△AEF的面積；（3）中需通過添加輔助線，把BM、DN、MN放在同一個三角形中來解決，所以過點A作AN′⊥AN，且使AN′=AN，連接BN′、MN′，然后證得BM²+DN²=MN²．
解答：（1）EF=BE+DF．
證明：延長CB至G，使BG=DF，連接AG．（如圖）   …（1分）
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=AD，∠ABC=∠ABG=∠ADF=∠BAD=90°，
在△ABG和△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF （SAS）  …（2分）
∴∠GAB=∠DAF=15°，AG=AF，
∵∠BAE=30°，
∴∠GAE=45°，∠FAE=90°-30°-15°=45°，
∴∠GAE=∠FAE，
在△AGE和△AFE中，
，
∴△AGE≌△AFE（SAS）
∴EF=EG，
∵EG=BG+BE=BE+DF，
∴EF=BE+DF；                              …（3分）

（2）解：過點A作AH⊥EF于H（如圖），
∵∠BAE=30°，∠ABE=90°，AB=，
∴BE=1，
∴EC=-1，…（4分）
由（1）中△AGE≌△AFE可得：∠AEB=∠AEF，
∴∠AEB=∠AEF=60°，
∴∠FEC=60°，
∴EF=2EC=2-2，…（5分）
又∵∠ABE=∠AHE=90°，AE=AE，
∴△ABE≌△AHE（AAS）
∴AH=AB=
∴S_△AEF=EF•AH=（2-2）×=3-；…（6分）

（3）BM²+DN²=MN²
證明：在AG上取點N′使AN′=AN，連接BN′、MN′（如圖）．
∵△ABG≌△ADF，
∴∠BAG=∠FAD，
∴∠GAF=∠BAD=90°，
即AN′⊥AN，
在正方形ABCD中
∵∠BAM=30°，∠NAD=15°，
∴∠NAM=45°，
∴∠N′AM=∠NAM=45°，
∵AM=AM，
∴△AN′M≌△ANM（SAS）                   …（7分）
∴MN′=MN，
∵AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠DAN+∠BAN=90°，
∵∠N′AB+∠BAN=90°，
∴∠N′AB=∠DAN=15°，
∵AN′=AN，
∴△ABN′≌△AND（SAS），…（8分）
∴∠N′BA=∠D=∠ABD=45°，BN′=DN，
∴∠N′BM=90°，…（9分）
∵N′B²+BM²=N′M²，
∴BM²+DN²=MN²，…（10分）
點評：此題考查了全等三角形的判定、正方形的性質、直角三角形的性質、勾股定理的判定等知識．此題難度較大，注意在證明兩條線段的和等于第三條線段時，往往利用截長補短的方法解決，注意準確作出輔助線是解此題的關鍵．