Question

【題目】如圖所示，將二次函數y=x2+2x+1的圖象沿x軸翻折，然后向右平移1個單位，再向上平移4個單位，得到二次函數y=ax2+bx+c的圖象．函數y=x2+2x+1的圖象的頂點為點A．函數y=ax2+bx+c的圖象的頂點為點B，和x軸的交點為點C，D（點D位于點C的左側）．

（1）求函數y=ax2+bx+c的解析式；

（2）從點A，C，D三個點中任取兩個點和點B構造三角形，求構造的三角形是等腰三角形的概率；

（3）若點M是線段BC上的動點，點N是△ABC三邊上的動點，是否存在以AM為斜邊的Rt△AMN，使△AMN的面積為△ABC面積的？若存在，求tan∠MAN的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）解析式為y=﹣x2+4；（2）構造的三角形是等腰三角形的概率是；（3）存在，tan∠MAN的值為1或4或．

【解析】（1）利用配方法得到y=x2+2x+1=（x+1）2，然后根據拋物線的變換規律求解；

（2）利用頂點式y=（x+1）2得到A（﹣1，0），解方程﹣x2+4=0得D（﹣2，0），C（2，0）易得B（0，4），列舉出所有的三角形，再計算出AC=3，AD=1，CD=4，AB=，BC=2，BD=2，然后根據等腰三角形的判定方法和概率公式求解；

（3）易得BC的解析是為y=﹣2x+4，S△ABC=6，M點的坐標為（m，﹣2m+4）（0≤m≤2），討論：①當N點在AC上，如圖1，利用面積公式得到（m+1）（﹣2m+4）=2，解得m1=0，m2=1，當m=0時，求出AN=1，MN=4，再利用正切定義計算tan∠MAC的值；當m=1時，計算出AN=2，MN=2，再利用正切定義計算tan∠MAC的值；②當N點在BC上，如圖2，先利用面積法計算出AN=，再根據三角形面積公式計算出MN=，然后利用正切定義計算tan∠MAC的值；③當N點在AB上，如圖3，作AH⊥BC于H，設AN=t，則BN=﹣t，由②得AH=，利用勾股定理可計算出BH=，證明△BNM∽△BHA，利用相似比可得到MN=，利用三角形面積公式得到（﹣t）=2，根據此方程沒有實數解可判斷點N在AB上不符合條件，從而得到tan∠MAN的值為1或4或．

（1）y=x2+2x+1=（x+1）2的圖象沿x軸翻折，得y=﹣（x+1）2，

把y=﹣（x+1）2向右平移1個單位，再向上平移4個單位，得y=﹣x2+4，

∴所求的函數y=ax2+bx+c的解析式為y=﹣x2+4；

（2）∵y=x2+2x+1=（x+1）2，

∴A（﹣1，0），

當y=0時，﹣x2+4=0，解得x=±2，則D（﹣2，0），C（2，0）；

當x=0時，y=﹣x2+4=4，則B（0，4），

從點A，C，D三個點中任取兩個點和點B構造三角形的有：△ACB，△ADB，△CDB，

∵AC=3，AD=1，CD=4，AB=，BC=2，BD=2，

∴△BCD為等腰三角形，

∴構造的三角形是等腰三角形的概率=；

（3）存在，

易得BC的解析是為y=﹣2x+4，S△ABC=ACOB=×3×4=6，

M點的坐標為（m，﹣2m+4）（0≤m≤2），

①當N點在AC上，如圖1，

∴△AMN的面積為△ABC面積的，

∴（m+1）（﹣2m+4）=2，解得m1=0，m2=1，

當m=0時，M點的坐標為（0，4），N（0，0），則AN=1，MN=4，

∴tan∠MAC==4；

當m=1時，M點的坐標為（1，2），N（1，0），則AN=2，MN=2，

∴tan∠MAC==1；

②當N點在BC上，如圖2，

BC==2，

∵BCAN=ACBC，解得AN=，

∵S△AMN=ANMN=2，

∴MN==，

∴∠MAC=；

③當N點在AB上，如圖3，作AH⊥BC于H，設AN=t，則BN=﹣t，

由②得AH=，則BH=，

∵∠NBG=∠HBA，

∴△BNM∽△BHA，

∴，即，

∴MN=，

∵ANMN=2，

即（﹣t）=2，

整理得3t2﹣3t+14=0，△=（﹣3）2﹣4×3×14=﹣15＜0，方程沒有實數解，

∴點N在AB上不符合條件，

綜上所述，tan∠MAN的值為1或4或．