Question

如圖，反比例函數y=（x＞0）的圖象經過點A（2，1），射線AB與反比例函數的圖象交于另一點B（1，a），射線AC與y軸交于點C，∠BAC=75°，AD⊥y軸，垂足為D．

（1）求k的值；

（2）求tan∠DAC的值；

（3）求經過A，C兩點的直線的解析式．

Answer 1

【考點】反比例函數綜合題．

【分析】（1）根據反比例函數圖象上點的坐標特征易得k=2；

（2）作BH⊥AD于H，如圖1，根據反比例函數圖象上點的坐標特征確定B點坐標為（1，2），則AH=2﹣1，BH=2﹣1，可判斷△ABH為等腰直角三角形，所以∠BAH=45°，得到∠DAC=∠BAC﹣∠BAH=30°，根據特殊角的三角函數值得tan∠DAC=；

（3）由于AD⊥y軸，則OD=1，AD=2，然后在Rt△OAD中利用正切的定義可計算出CD=2，易得C點坐標為（0，﹣1），于是可根據待定系數法求出直線AC的解析式為y=x﹣1．

【解答】解：（1）把A（2，1）代入y= 得k=2×1=2；

（2）作BH⊥AD于H，如圖，

把B（1，a）代入反比例函數解析式y=得a=2，

∴B點坐標為（1，2），

∴AH=2﹣1，BH=2﹣1，

∴△ABH為等腰直角三角形，

∴∠BAH=45°，

∵∠BAC=75°，

∴∠DAC=∠BAC﹣∠BAH=30°，

∴tan∠DAC=tan30°=；

（3）∵AD⊥y軸，

∴OD=1，AD=2，

∵tan∠DAC==，

∴CD=2，

∴OC=1，

∴C點坐標為（0，﹣1），

設直線AC的解析式為y=kx+b，

把A（2，1）、C（0，﹣1）代入y=kx+b得，

解得，

∴直線AC的解析式為y=x﹣1．

【點評】本題考查了反比例函數的綜合題：掌握反比例函數圖象上點的坐標特征和待定系數法求一次函數解析式；理解坐標與圖形的性質；同時要熟悉三角函數．