Question

如圖，⊙O的直徑AB=4，C為圓周上一點，AC=2，過點C作⊙O的切線l，過點B作l的垂線BD，垂足為D，BD與⊙O交于點E．
（1）求∠AEC的度數；
（2）求證：四邊形OBEC是菱形．

Answer 1

【答案】分析：（1）由直徑AB的長，求出半徑OA及OC的長，再由AC的長，得到三角形OAC三邊相等，可得此三角形為等邊三角形，根據等邊三角形的性質得到∠AOC=60°，再根據同弧所對的圓心角等于所對圓周角的2倍，即可得出∠AEC的度數；
（2）由直線l與圓O相切，根據切線的性質得到OC與直線l垂直，又BD與直線l垂直，根據在同一平面內，垂直于同一條直線的兩直線平行得到BE與OC平行，根據兩直線平行同位角相等，可得出∠B=∠AOC=60°，再由AB為圓O的直徑，根據直徑所對的圓周角為直角，可得出∠AED為直角，用∠AED-∠AEC求出∠DEC=60°，可得出一對同位角相等，根據同位角相等兩直線平行，可得出EC與OB平行，根據兩組對邊平行的四邊形為平行四邊形可得出四邊形OBEC為平行四邊形，再由半徑OC=OB，根據鄰邊相等的平行四邊形為菱形可得出OBEC為菱形，得證．
解答：解：（1）∵OA=OC==2，AC=2，
∴OA=OC=AC，
∴△OAC為等邊三角形，（1分）
∴∠AOC=60°，（2分）
∵圓周角∠AEC與圓心角∠AOC都對弧，
∴∠AEC=∠AOC=30°；（3分）
（2）∵直線l切⊙O于C，
∴OC⊥CD，（4分）
又BD⊥CD，
∴OC∥BD，（5分）
∴∠B=∠AOC=60°，
∵AB為⊙O直徑，
∴∠AEB=90°，又∠AEC=30°，
∴∠DEC=90°-∠AEC=60°，
∴∠B=∠DEC，
∴CE∥OB，（7分）
∴四邊形OBEC為平行四邊形，（8分）
又OB=OC，
∴四邊形OBEC為菱形．（9分）
點評：此題考查了切線的性質，等邊三角形的判定與性質，圓周角定理，平行線的判定與性質，平行四邊形及菱形的判定，是一道綜合性較強的試題，學生做題時應結合圖形，弄清題中的條件，找出已知與未知間的聯系來解決問題．熟練掌握性質及判定是解本題的關鍵．