Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AD＝AB，∠BAD的平分線交BC于點E，DH⊥AE于點H，連接BH并延長交CD于點F，連接DE交BF于點O，下列結論：①∠AED＝∠CED；②OE＝OD；③BH＝HF；④BC﹣CF＝2HE；⑤AB＝HF，其中正確的有_____．

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

①根據角平分線的定義可得∠BAE=∠DAE=45°，可得出△ABE是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質可得AEAB，從而得到AE=AD，然后利用“角角邊”證明△ABE和△AHD全等，根據全等三角形對應邊相等可得BE=DH，再根據等腰三角形兩底角相等求出∠ADE=∠AED=67.5°，根據平角等于180°求出∠CED=67.5°，從而判斷出①正確；

②求出∠AHB=67.5°，∠DHO=∠ODH=22.5°，然后根據等角對等邊可得OE=OD=OH，判斷出②正確；

③求出∠EBH=∠OHD=22.5°，∠AEB=∠HDF=45°，然后利用“角邊角”證明△BEH和△HDF全等，根據全等三角形對應邊相等可得BH=HF，判斷出③正確；

④根據全等三角形對應邊相等可得DF=HE，然后根據HE=AE﹣AH=BC﹣CD，BC﹣CF=BC﹣（CD﹣DF）=2HE，判斷出④正確；

⑤判斷出△ABH不是等邊三角形，從而得到AB≠BH，即AB≠HF，得到⑤錯誤．

∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE=45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AEAB．

∵ADAB，∴AE=AD．

在△ABE和△AHD中，∵，∴△ABE≌△AHD（AAS），∴BE=DH，∴AB=BE=AH=HD，∴∠ADE=∠AED（180°﹣45°）=67.5°，∴∠CED=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，∴∠AED=∠CED，故①正確；

∵∠AHB（180°﹣45°）=67.5°，∠OHE=∠AHB（對頂角相等），∴∠OHE=∠AED，∴OE=OH．

∵∠DOH=90°﹣67.5°=22.5°，∠ODH=67.5°﹣45°=22.5°，∴∠DOH=∠ODH，∴OH=OD，∴OE=OD=OH，故②正確；

∵∠EBH=90°﹣67.5°=22.5°，∴∠EBH=∠OHD．

在△BEH和△HDF中，∵，∴△BEH≌△HDF（ASA），∴BH=HF，HE=DF，故③正確；

由上述①、②、③可得CD=BE、DF=EH=CE，CF=CD﹣DF，∴BC﹣CF=（CD+HE）﹣（CD﹣HE）=2HE，所以④正確；

∵AB=AH，∠BAE=45°，∴△ABH不是等邊三角形，∴AB≠BH，∴即AB≠HF，故⑤錯誤；

綜上所述：結論正確的是①②③④．

故答案為：①②③④．