Question

如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2CD，E、F分別為AB、AC的中點，EF與BD相交于點M．
（1）求證：△EDM∽△FBM；
（2）若BM=4，求BD的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）由AB=2CD，E為AB的中點得BE=CD，而AB∥CD，根據平行四邊形的判定得到四邊形EBCD是平行四邊形，再由平行四邊形的性質得DE∥BC，根據相似三角形的判定即可得到結論；
（2）根據相似三角形的性質得=，而BF=BC=DE，BM=4，可計算出DM，即可得到BD的長．
解答：（1）證明：∵AB=2CD，E為AB的中點
∴BE=CD
∵AB∥CD，
∴四邊形EBCD是平行四邊形，
∴DE∥BC
∴△EDM∽△FBM；

（2）解：∵△EDM∽△FBM
∴=，
∵F為平行四邊形EBCD的BC邊的中點，
∴===2，
而BM=4，
∴DM=2BM=8，
∴BD=BM+MD=4+8=12．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質：平行于三角形的一邊直線與其它兩邊（或其延長線）所截得的三角形與圓三角形相似；相似三角形的對應邊比相等．也考查了平行四邊形的判定與性質以及梯形的性質．