Question

【題目】如圖1，拋物線，經過A（1，0）、B（7，0）兩點，交y軸于D點，以AB為邊在x軸上方作等邊△ABC．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在x軸上方的拋物線上是否存在點M，是S△ABM=S△ABC？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）如圖2，E是線段AC上的動點，F是線段BC上的動點，AF與BE相交于點P．

①若CE=BF，試猜想AF與BE的數量關系及∠APB的度數，并說明理由；

②若AF=BE，當點E由A運動到C時，請直接寫出點P經過的路徑長（不需要寫過程）．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點M的坐標為（9，4）或（﹣1，4）；（3）①AF=BE，∠APB=120°；②或．

【解析】解：（1）根據題意，可設拋物線的解析式為y=ax2+bx+．

∵將點A、B的坐標代入得： 解得：a=，b=﹣2，

∴拋物線的解析式為y=x2﹣2x+．

（2）存在點M，使得S△AMB=S△ABC．

理由：如圖所示：過點C作CK⊥x軸，垂足為K．

∵△ABC為等邊三角形，

∴AB=BC=AC=6，∠ACB=60°．

∵CK⊥AB，

∴KA=BK=3，∠ACK=30°．

∴CK=3．

∴S△ABC=ABCK=×6×3=9．

∴S△ABM=×=12．

設M（a，a2﹣2a+）．

∴AB|yM|=12，即×6×（a2﹣2a+）=12．

解得=9， =﹣1．

∴M1（9，4），M2（﹣1，4）．

（3）①結論：AF=BE，∠APB=120°．

理由：如圖所示；

∵△ABC為等邊三角形，

∴BC=AB，∠C=∠ABF．

∵在△BEC和△AFB中， ，

∴△BEC≌△AFB．

∴AF=BE，∠CBE=∠BAF．

∴∠FAB+∠ABP=∠ABP+∠CBE=∠ABC=60°．

∴∠APB=180°﹣∠PAB﹣∠ABP=180°﹣60°=120°．

②點P經過的路徑長為或3．