Question

【題目】如圖，等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，點D在AC上，將△ABD繞頂點B沿順時針方向旋轉90°后得到△CBE．

(1)求∠DCE的度數；

(2)當AB=4，AD∶DC=1∶3時，求DE的長．

Answer 1

【答案】（1）900；（2）

【解析】

（1）由題意我們知道∠A＋∠C＝90°，那么我們只要通過全等三角形來得出∠BCE＝∠A，就能得出∠DCE＝90°的結論，那么關鍵就是證明三角形ADB和CBE全等，根據題意我們知三角形CBE是由三角形ABD旋轉得來，根據旋轉的性質我們可得出兩三角形全等．

（2）由（1）可得出三角形DEC是個直角三角形，要求DE的長，就必須求出CD和CE，由（1）可知AD＝CE，那么就必須求出AD和DC的長，有AD，CD的比例關系，那么求出AC就是關鍵．直角三角形ABC中，AB＝AC，有AB的長，進而可得AC的值．

（1）∵△CBE是由△ABD旋轉得到的，

∴△ABD≌△CBE，

∴∠A＝∠BCE＝45°，

∴∠DCE＝∠DCB＋∠BCE＝90°．

（2）在等腰直角三角形ABC中，

∵AB＝4，∴AC＝4，

又∵AD：DC＝1：3，

∴AD＝，DC＝3．

由（1）知AD＝CE且∠DCE＝90°，

∴DE2＝DC2＋CE2＝2＋18＝20，

∴DE＝．