Question

在△ABC中，AD⊥BC于D，AD=4，BD：DC=1：2，將Rt△ABD繞點A逆時針旋轉90°，得△AEF，E、F分別是B、D的對應點，FE（或延長線）交BC（或延長線）于H，過點C作CG∥AD交AF（或延長線）于G，設BD=x（x＞0）．

（1）如圖①，當點E恰好落在邊AC上時，求BD的長；
（2）如圖②，若點F在AG上，試討論以F為圓心，FE長為半徑的⊙F與CG所在直線的位置關系；
（3）求當時，以A、D、C、E四點為頂點的四邊形面積S關于x的表達式．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據旋轉的性質，可得△AEF≌△ABD，易證△AEF∽△ACG，根據比例的性質，表示各量，可解答；
（2）由F在AG上，可得2x≥4，FG=2x-4，當FG=EF，FG＞EF，FG＜EF分類討論其位置關系；
（3）根據當0＜x≤2和2＜x＜時，EF與CG的位置關系，結合四邊形ADCE的形狀，分類求其解析式，解答出即可；
解答：（1）證明：如圖①，
∵△AEF是由△ABD繞點A逆時針旋轉90°所得，
∴△AEF≌△ABD，
∴∠ADB=∠AFE=90°，
∴AD∥CG∥EF，
由已知，E在AC上，
∴△AEF∽△ACG，
∴，
由AF=4，AG=2x，EF=x，CG=4，
∴解得，
∴BD=2；

（2）解：如圖②，
∵F在AG上，
∴2x≥4即x≥2，FG=2x-4，由已知CG⊥AF，
∴當FG=EF時，即2x-4=x，x=4，
∴當x=4時，⊙F與CG所在直線相切，
當2≤x＜4時，⊙F與CG所在直線相交，
當x＞4時，⊙F與CG所在直線相離；

（3）

①如圖③，
當0＜x≤2時，AG=DC=2x＜AF=4，
∴G在AF上
∴S_{四邊形ADCE}=S_矩形ADHF-S_△AEF-S_△CHE，
=16-×4x-（4-x）（4-2x），
=16-2x-8+6x-x²，
=-x²+4x+8；
②當2＜x＜時，AG=DC=2x＞AF，
∴G在AF延長線上，
S_{四邊形ADCE}=S_梯形ADHE+S_△HCE，
=（4+4-x）×4+（2x-4）（4-x），
=16-2x-x²+6x-8，
=-x²+4x+8；
綜上，S_{四邊形ADCE}=-x²+4x+8（0＜x＜2）．
點評：本題考查了旋轉的性質、相似三角形的判定和性質、直線與圓的位置關系及二次函數關系式的求法；考查的知識點較多，考查了學生對知識掌握程度及熟練應用所學知識的能力．