Question

如圖：已知：AD是△ABC的角平分線，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．
（1）求證：四邊形AEDF是菱形；
（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形AEDF是正方形？

Answer 1

分析：（1）根據平行四邊形的判定定理--有兩組對邊相互平行的四邊形是平行四邊形，推知四邊形AEDF是平行四邊形；然后由平行四邊形的對角相等、對角線平分對角的性質以及角平分線的性質證得∠EAD=∠EDA；最后由等角對等邊推知?ABCD的鄰邊AE=DE；
（2）由正方形的四個角都是直角的性質知三角形ABC中∠BAC=90°．

解答：解：（1）證明：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴DE∥AF，DF∥AE，
∴四邊形AEDF是平行四邊形（有兩組對邊相互平行的四邊形是平行四邊形），
∴∠EAF=∠EDF（平行四邊形的對角相等）；
又∵AD是△ABC的角平分線，
∴∠EAD=∠EDA（平行四邊形的對角線平分對角），
∴AE=DE（等角對等邊），
∴四邊形AEDF是菱形（鄰邊相等的平行四邊形是菱形）；

（2）由（1）知，四邊形AEDF是菱形，
∵當四邊形AEDF是正方形時，∠EAF=90°，即∠BAC=90°，
∴△ABC的∠BAC=90°時，四邊形AEDF是正方形．

點評：本題考查了正方形的判定、菱形的判定．注意：菱形是鄰邊相等的“平行四邊形”，而非鄰邊相等的“四邊形”．