Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，E為BC的中點，連接AE并延長交DC的延長線于點F．
（1）求證：AC=BF；
（2）當∠D與∠AFD滿足什么數量關系時，四邊形ABFC是矩形，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據平行四邊形性質推出AB∥CD，推出∠BAE=∠CFE，根據AAS證△ABE≌△FCE，推出AE=EF，得出平行四邊形ABFC，推出即可；
（2）當∠D=∠AFD時，四邊形ABFC是矩形，理由是：推出AD=AF，根據平行四邊形性質推出FC=AB=FD，根據等腰三角形性質推出AC⊥FD，根據矩形的判定推出即可．
解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
即AB∥CF，
∴∠BAE=∠CFE，
∵E為BC的中點，
∴BE=CE，
∵在△ABE和△FCE中
，
∴△ABE≌△FCE，
∴AE=EF，
∵BE=CE，
∴四邊形ABFC是平行四邊形，
∴AC=BF；

（2）解：當∠D=∠AFD時，四邊形ABFC是矩形，
理由是：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，
∵由（1）知：四邊形ABFC是平行四邊形，
∴AB=CF，
∴CD=CF，
∵∠D=∠AFD，
∴AD=AF，
∴AC⊥FD，
∴∠ACF=90°，
∵四邊形ABFC是平行四邊形，
∴平行四邊形ABFC是矩形，
即當∠D=∠AFD時，四邊形ABFC是矩形．
點評：本題考查的知識點是平行四邊形的性質和判定，全等三角形的性質和判定，等腰三角形的性質和判定，平行線的性質，本題綜合性比較強，是一道比較好的題目．