Question

如圖，已知四邊形ABCD外接⊙O的半徑為5，對角線AC與BD的交點為E，且AB²=AE•AC，BD=8，求△ABD的面積．

Answer 1

分析：求△ABD的面積，已知了底邊BD的長，因此只需求出BD邊上的高即可．連接OA、OB，交DB于F；已知AB²=AE•AC，易證得△ABE∽△ACB；可得∠BCA=∠DBA，即弧AD=弧AB，根據垂徑定理，可知OA垂直平分BD；易求得OF=3，則AF=2，由此可求得△ABD的面積．

解答：解：如圖，連接OA、OB，交DB于F；
∵AB²=AE•AC，即

AB

AC

=

AE

AB

；
又∵∠BAE=∠CAB，
∴△ABE∽△ACB；
∴∠DBA=∠BCA；
而∠BCA=∠BDA，∴∠DBA=∠BDA；
∴AB=AD，∴OA⊥BD，且F為BD的中點；
∴BF=4；
在Rt△BOF中，OB²=BF²+OF²，∴OF=3；
而OA=5，∴AF=2；
∴S_△ABD=

1

2

BD×AF=8．

點評：本題綜合考查了相似三角形的判定和性質、圓周角定理、垂徑定理、勾股定理、三角形面積公式等知識，綜合性強，難度稍大．