Question

矩形OABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示，其中OA=5，AB=2，拋物線y=-x²+3x的圖象與BC交于D、E兩點．
（1）求DE的長______；
（2）M是BC上的動點，若OM⊥AM，求點M的坐標；
（3）在拋物線上是否存在點Q，使以D、O、Q、M為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）通過圖示不難看出點D、E的縱坐標為2，代入拋物線的解析式中，線求出這兩點的坐標，再求出DE的長．
（2）在矩形OABC中，若OM⊥AM，那么不難看出Rt△OCM∽Rt△BAM，由點M的橫坐標表示出CM、BM的長，由相似三角形得到的比例線段即可確定點M的坐標．
（3）D、M都在直線BC上，那么可以分兩種情況討論：
①DM為平行四邊形的對角線，那么點Q的縱坐標必為4（此時，點O、Q關于DE的中點對稱），顯然這個點Q不可能在拋物線的圖象上，這種情況不予考慮；
②DM為邊；這種情況又可以分為兩種：DQ、MO平行且相等；DO、MQ平行且相等．前者的點Q在x軸負半軸上，顯然點Q不在拋物線對稱軸上，那么只考慮后一種情況：
此時DM與OQ平行且相等，那么點Q在x軸正半軸上，且DM=OQ，可據此先得到點Q的坐標，再代入拋物線中進行驗證即可．
解答：解：（1）由圖知：點D、E的縱坐標為2，依題意，有：
-x²+3x=2，解得：x₁=1、x₂=2
∴D（1，2）、E（2，2），DE=1．

（2）如右圖；
矩形OABC中，∠OMA=90°，
∴∠CMO=∠MAB=90°-∠AMB，又∠OCM=∠MBA=90°，
∴△OCM∽△MBA，有：=
設點M（m，2），則：CM=m，BM=5-m
∴=，解得 m₁=1，m₂=4
∴點M的坐標為（1，2）或（4，2）．

（3）若以D、O、Q、M為頂點的四邊形是平行四邊形，那么點D、M不共點，所以點M取（4，2）；
①當DM為平行四邊形的對角線時，點O、Q關于DM的中點對稱，即點Q的縱坐標為4，由圖知，點Q必不在拋物線圖象上，不合題意；
②當DM為平行四邊形的邊時，OM∥OQ，且OM=OQ；
∵D（1，2）、M（4，2）
∴OQ=DM=3，即 Q（-3，0）或（3，0）；
經驗證，點（-3，0）不在拋物線圖象上；
點（3，0）在拋物線圖象上；
綜上，存在符合條件的點Q，且坐標為（3，0）．
點評：此題是二次函數與幾何知識的綜合考查；主要涉及了矩形的性質、相似三角形與平行四邊形的判定和性質．最后一題中，在平行四邊形的頂點排序不明確的情況下，一定要進行分類討論．