Question

如圖，矩形OABC在平面直角坐標系內（O為坐標原點），點A在x軸上，點C在y軸上，點B的坐標為（-2，2

3

），點E是BC的中點，點H在OA上，且AH=

1

2

，過點H且平行于y軸的HG與EB交于點G，現將矩形折疊，使頂點C落在HG上，并與HG上的點D重合，折痕為EF，點F為折痕與y軸的交點．

（1）求∠CEF的度數和點D的坐標；
（2）求折痕EF所在直線的函數表達式；
（3）若點P在直線EF上，當△PFD為等腰三角形時，試問滿足條件的點P有幾個，請求出點P的坐標，并寫出解答過程．

Answer 1

分析：（1）由條件可以求出EC=EB=1，根據軸對稱的性質可以求出ED=1，利用三角函數值求出∠GED的度數，從而可以求出∠CEF的度數，利用勾股定理DG的值就可以求出D點的坐標；
（2）利用三角函數值求出CF的值，從而求出F的坐標，設出直線EF的解析式，直接利用待定系數法求出其解析式就可以了；
（3）如圖2，根據等腰三角形的性質設出點P的坐標，由兩點間的距離公式就可以求出點P的坐標．

解答：解：（1）∵E是BC的中點，
∴EC=EB=

2

2

=1．
∵△FCE與△FDE關于直線EF對稱，
∴△FCE≌△FDE，
∴ED=EC=1，∠FCE=∠FDE=90°，DF=CF．
∵AH=

1

2

，
∴EG=EB-AH=1-

1

2

=

1

2

．
∵cos∠GED=

EG

ED

=

1

2

，
∴∠GED=60°．
∴∠DEC=180°-60°=120°．
∵∠DEF=∠CEF
∴∠CEF=

120

2

=60°．
在Rt△GED中，由勾股定理得：
DG²=ED²-EG²=1-

1

4

=

3

4

∴DG=

3

2

 DH=AB-DG=2

3

-

3

2

=

3 3

2

 OH=OA-AH=2-

1

2

=

3

2

故D（-

3

2

，

3 3

2

）

 （2）∵∠CEF═60°
∴CF=ECtan60°=

3

∴OF=OC-CF=2

3

-

3

=

3

∴F（0，

3

），E（-1，2

3

）
設EF所在直線的函數表達式為y=kx+b，由圖象，得
  

3 =b 2 3 =-k+b

，
解得：

k=- 3 b= 3

   
故EF所在直線的函數表達式為：y=-

3

x+

3

；

（3）∵DF=CF=

3

點P在直線EF上，
∴當△PFD為等腰三角形時，有以下三種情況：
（a）P₁F=DF=

3

，
可令P₁（t，-

3

t+

3

），則：
P₁F²=3
∴由兩點間的距離公式為：
（t-0）²+（-

3

t+

3

-

3

）²=3
∴t²+3t²=3
∴t²=

3

4

，
∴t₁=-

3

2

，t₂=

3

2

∴P₁（-

3

2

，

3

2

+

3

）； P₃（

3

2

，-

3

2

+

3

）
（b） PD=DF=

3

時，
仍令P（t，-

3

t+

3

），注意D（-

3

2

，

3 3

2

），則：
PD²=3
∴（t+

3

2

）²+（-

3

t+

3

-

3 3

2

）²=3
∴t²+3t+

9

4

+3t²+3t+

3

4

=3
∴4t²+6t=0
∴t₁=0，t₂=-

3

2

∵t₁=0對應F點，此時不構成三角形，故舍去．
∴P₄（-

3

2

，

5 3

2

）
（c）當 PD=PF
仍令P（t，-

3

t+

3

），注意D（-

3

2

，

3 3

2

），F（0，

3

），則：
PD²=PF²
∴（t+

3

2

）²+（-

3

t+

3

-

3 3

2

）²=（t-0）²+（-

3

t+

3

-

3

）²，
∴t²+3t+

9

4

+3t²+3t+

3

4

=t²+3t²
∴6t+3=0
∴t=-

1

2

∴P₄（-

1

2

，

3 3

2

）．
故滿足條件的點P有4個．分別是：（-

3

2

，

5 3

2

）、（

3

2

，

3

-

3

2

）、（-

3

2

，

3

+

3

2

）、（-

1

2

，

3 3

2

）．

點評：本題是一道一次函數的綜合試題，考查了軸對稱的性質的運用，待定系數法求一次函數的解析式的運用及等腰的三角形的性質的運用，在解答時求出直線EF的解析式時關鍵．