Question

如圖（1），在Rt△ABC, ∠ACB=90°,分別以AB、BC為一邊向外作正方形ABFG、BCED，連結AD、CF，AD與CF交于點M。

（1）求證：△ABD≌△FBC；
（2）如圖（2），已知AD=6，求四邊形AFDC的面積；
（3）在△ABC中，設BC＝a，AC＝b，AB＝c，當∠ACB≠90°時，c²≠a²＋b²。在任意△ABC中，c²＝a²＋b²＋k。就a＝3，b＝2的情形，探究k的取值范圍（只需寫出你得到的結論即可）。

Answer 1

解：（1）證明：∵正方形ABFG、BCED，∴AB=FB，CB=DB，∠ABF=∠CBD=90°，
∴∠ABF＋∠ABC=∠CBD＋∠ABC，即∠ABD=∠CBF。
在△ABD與△FBC中，∵AB=FB，∠ABD=∠CBF，DB= CB，
∴△ABD≌△FBC（SAS）。
（2）由（1）△ABD≌△FBC得，AD=FC，∠BAD=∠BFC。
∴∠AMF=180°－∠BAD－∠CMA=180°－∠BFC－∠BMF=180°－90°=90°。∴AD⊥CF。
∵AD=6，∴FC= AD=6。
∴
。
（3）－12＜k＜12。

試題分析：（1）根據正方形的性質易由SAS證明△ABD≌△FBC。
（2）由（1）△ABD≌△FBC證得AD=FC，∠BAD=∠BFC，進一步由三角形內角和定理證得AD⊥CF，從而根據求出答案。
（3）由a＝3，b＝2，c²＝a²＋b²＋k得c²＝13＋k，即，根據三角形三邊關系，得 。