Question

剪刀將形狀如圖1所示的矩形紙片ABCD沿著直線CM剪成兩部分，其中M為AD的中點．用這兩部分紙片可以拼成一些新圖形，例如圖2中的Rt△BCE就是拼成的一個圖形．若利用這兩部分紙片拼成的Rt△BCE是等腰直角三角形，設原矩形紙片中的邊AB和BC的長分別為a厘米、b厘米，且a、b恰好是關于x的方程x²-（m-1）x+m+1=0的兩個實數根，試求出原矩形紙片的面積．

Answer 1

分析：根據等腰直角三角形可得到a和b的關系．根據根與系數的關系得到其中一個字母和m的關系，進而求出原矩形紙片的面積．

解答：解：由題可知AB=CD=AE，又BC=BE=AB+AE，
∴BC=2AB，即b=2a，
由題意知a，2a是方程x²-（m-1）x+m+1=0的兩根，
∴a+2a=m-1，a•2a=m+1，
∴2m²-13m-7=0，解得m=7或m=-

1

2

，
經檢驗：由于當m=-

1

2

，a+2a=-

3

2

a＜0，
∴m=-

1

2

不符合題意，舍去．m=7符合題意，
∴S_矩形=ab=m+1=8，
答：原矩形紙片的面積為8cm²．

點評：本題考查了矩形的性質以及等腰直角三角形的性質，解決本題需找到相等的邊，讓其重合，拼合，或者得到相應的關系，利用根與系數關系求解．