Question

【題目】如圖，直線y＝x﹣2與x軸交于點B，與y軸交于點A，拋物線y＝ax2﹣x+c經過A，B兩點，與x軸的另一交點為C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）M為拋物線上一點，直線AM與x軸交于點N，當時，求點M的坐標；

（3）P為拋物線上的動點，連接AP，當∠PAB與△AOB的一個內角相等時，直接寫出點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣x﹣2；（2）點M的坐標為：（5，3）或（﹣2，3）或（2，﹣3）或（1，﹣3）；（3）點P的坐標為：（﹣1，0）或（，﹣）或（，）或（3，﹣2）．

【解析】

（1）根據題意直線y＝x﹣2與x軸交于點B，與y軸交于點A，則點A、B的坐標分別為：（0，-2）、（4，0），即可求解；

（2）由題意直線MA的表達式為：y＝（m﹣）x﹣2，則點N（，0），當＝時，則＝，即＝，進行分析即可求解；

（3）根據題意分∠PAB=∠AOB=90°、∠PAB=∠OAB、∠PAB=∠OBA三種情況，分別求解即可．

解：（1）直線y＝x﹣2與x軸交于點B，與y軸交于點A，則點A、B的坐標分別為：（0，﹣2）、（4，0），

則c＝﹣2，將點B的坐標代入拋物線表達式并解得：a＝，

故拋物線的表達式為：y＝x2﹣x﹣2①；

（2）設點M（m，m2﹣m﹣2）、點A（0，﹣2），

將點M、A的坐標代入一次函數表達式：y＝kx+b并解得：

直線MA的表達式為：y＝（m﹣）x﹣2，

則點N（，0），

當＝時，則＝，即：＝，

解得：m＝5或﹣2或2或1，

故點M的坐標為：（5，3）或（﹣2，3）或（2，﹣3）或（1，﹣3）；

（3）①∠PAB＝∠AOB＝90°時，

則直線AP的表達式為：y＝﹣2x﹣2②，

聯立①②并解得：x＝﹣1或0（舍去0），

故點P（﹣1，0）；

②當∠PAB＝∠OAB時，

當點P在AB上方時，無解；

當點P在AB下方時，

將△OAB沿AB折疊得到△O′AB，直線OA交x軸于點H、交拋物線為點P，點P為所求，

則BO＝OB＝4，OA＝OA＝2，設OH＝x，

則sin∠H＝，即：，解得：x＝，則點H（﹣，0），．

則直線AH的表達式為：y＝﹣x﹣2③，

聯立①③并解得：x＝，故點P（，﹣）；

③當∠PAB＝∠OBA時，

當點P在AB上方時，

則AH＝BH，

設OH＝a，則AH＝BH＝4﹣a，AO＝2，

故（4﹣a）2＝a2+4，解得：a＝，

故點H（，0），

則直線AH的表達式為：y＝x﹣2④，

聯立①④并解得：x＝0或（舍去0），

故點P（，）；

當點P在AB下方時，

同理可得：點P（3，﹣2）；

綜上，點P的坐標為：（﹣1，0）或（，﹣）或（，）或（3，﹣2）．