Question

已知：△ABC內接于⊙O，過點B作直線EF，AB為非直徑的弦，且∠CBF=∠A．
（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）若∠A=30°，BC=2，連接OC并延長交EF于點M，求由弧BC、線段BM和CM所圍成的圖形的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接BO并延長交⊙O于H，連接HC，首先根據圓周角定理得到∠H=∠A，由HB是直徑得到∠HCB=90°，即∠H+∠CBH=90°，然后利用已知條件得到∠CBF+∠CBH=90°，即HB⊥EF，由此即可證明題目結論；
（2）在Rt△HCB中由BC=2，∠H=∠A=30°得到HB=4，OB=2，又∠BOM=2∠A=60°，根據三角函數可以求出MB，而
S=S_△OBM-S_扇形OBC=，由此即可求出由弧BC、線段BM和CM所圍成的圖形的面積．
解答：（1）證明：連接BO并延長交⊙O于H，連接HC，
則∠H=∠A，∵HB是直徑，∴∠HCB=90°
∴∠H+∠CBH=90°．
又∵∠A=∠CBF
∴∠CBF+∠CBH=90°
∴HB⊥EF．
又∵OB是半徑，
∴EF是⊙O的切線．

（2）解：在Rt△HCB中，BC=2，∠H=∠A=30°，
∴HB=4，OB=2．
∵∠BOM=2∠A=60°，
∴，
S=S_△OBM-S_扇形OBC===．
∴由弧BC、線段BM和CM所圍成的圖形的面積為．
點評：此題主要考查了切線的性質與判定，首先利用切線的判定定理判定切線，然后利用切線的性質和三角函數的定義即可求解．