Question

25、附加題：如圖所示，已知，△ABC內接于⊙O，AB為直徑，∠CAE=∠B．
求證：AE與⊙O相切于點A．

Answer 1

分析：要證明AE與⊙O相切于點A，即證明∠BAE=90°，由AB為直徑，得到∠ACB=90°，即∠BAC+∠B=90，又∠CAE=∠B，所以∠BAC+∠CAE=90°．

解答：證明：∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠B=90，
又∵∠CAE=∠B，
∴∠BAC+∠CAE=90°，
即∠BAE=90°，
所以AE與⊙O相切于點A．

點評：本題考查了圓的切線的判定方法．若直線與圓有唯一的公共點，則此直線是圓的切線；若圓心到直線的距離等于圓的半徑，則此直線是圓的切線；經過半徑的外端點與半徑垂直的直線是圓的切線．當已知直線過圓上一點，要證明它是圓的切線，則要連接圓心和這個點，證明這個連線與已知直線垂直即可；當沒告訴直線過圓上一點，要證明它是圓的切線，則要過圓心作直線的垂線，證明垂線段等于圓的半徑．也考查了圓的直徑所對的圓周角為90度．