Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點D是AC的中點，過點A，D作⊙O，使圓心O在AB上，⊙O與AB交于點E．
（1）若∠A+∠CDB=90°，求證：直線BD與⊙O相切；
（2）若AD：AE=4：5，且BC=6，求⊙O的直徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD，首先利用等腰三角形的性質，得到∠A=∠ADO，而∠A+∠CDB=90°，接著利用已知條件即可證明∠ODB=180°-（∠ADO+∠CDB）=90°，然后利用切線的判定方法即可證明BD是⊙O切線；
（2）連接DE，由AE是直徑，得到∠ADE=90°，然后利用已知條件可以證明DE∥BC，從而得到△ADE∽△ACB，接著利用相似三角形的性質得到AD：AC=DE：BC，又D是AC中點，由此可以求出DE的長度，而AD：AE=4：5，在直角△ADE中，設AD=4x，AE=5x，那么DE=3x，由此求出x=1即可解決問題．
解答：解：（1）證明：連接OD，…（1分）
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO，…（2分）
又∵∠A+∠CDB=90°，
∴∠ADO+∠CDB=90°，…（4分）
∴∠ODB=180°-（∠ADO+∠CDB）=90°，
∴BD⊥OD，…（5分）
∴BD是⊙O切線；         …（6分）

（2）連接DE，…（7分）
∵AE是直徑，
∴∠ADE=90°，…（8分）
又∵∠C=90°，
∴∠ADE=∠C，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，…（9分）
∴AD：AC=DE：BC
又∵D是AC中點，
∴AD=AC，
∴DE=BC，
∵BC=6，∴DE=3，…（11分）
∵AD：AE=4：5，
在直角△ADE中，設AD=4x，AE=5x，
那么DE=3x，
∴x=1
∴AE=5．
點評：本題主要考查了切線的判定，同時也考查了相似三角形的性質與判定、等腰三角形的性質、勾股定理等知識，綜合性比較強．其中要證某直線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．