Question

如圖，等腰梯形ABCD的底邊AD在x軸上，頂點C在y軸正半軸上，已知點B（4，2），D（-1，0），且一次函數y=kx-1的圖象平分等腰梯形ABCD的面積。

（1）求等腰梯形ABCD的中位線長及一次函數y=kx-1中k的值．
（2）若關于x的函數y=mx²-（3m+k）x+2m+k的圖象與坐標軸只有兩個交點，求m的值．

Answer 1

（1）k=1，（2）m=0或1/2或-1解析:
解：過B作BE⊥AD于E，連結OB、CE交于點P，

（1）由圖可知P為矩形OCBE的對稱中心，則過P點的直線平分矩形OCBE的面積.
∴P點坐標為（2，1）             --------2分
∵OC＝BE，AB＝CD
∴Rt△ODC≌Rt△EAB（HL）, 可得AD=6，中位線長=5------4分
∴兩個三角形面積相等
∵一次函數y=kx-1的圖象平分它的面積，點（0，-1）與P（2，1）經過直線
代入得：2k-1="1" ∴k=1               -------6分
（2）∵y=mx²-(3m+k)x+2m+k的圖象與坐標軸只有兩個交點
分情況討論：①   當m＝0時，y＝-x+1,其圖象與坐標軸有兩個交點
分別是：（0，1），（1，0）          --------8分
②當m≠0時，函數為拋物線，且與y軸總有一個交點（0，2m+1）
若拋物線過原點時，2m+1=0，即m= -1/2，-----10分
此時△＝(m+1)²=＞0
∴符合題意此時△＝（3m+1）²-4m（2m+1）="0"
解得：m₁=m₂= -1                  ---------12分
綜述m的值為m=0或1/2或-1
此題為綜合性題，考查了全等三角形，一次函數，二次函數