Question

清朝康熙皇帝是我國歷史上對數學很有興趣的帝王．近日，西安發現了他的數學專著，其中有一文《積求勾股法》，它對“三邊長為3、4、5的整數倍的直角三角形，已知面積求邊長”這一問題提出了解法：“若所設者為積數（面積），以積率六除之，平方開之得數，再以勾股弦各率乘之，即得勾股弦之數”．用現在的數學語言表述是：“若直角三角形的三邊長分別為3、4、5的整數倍，設其面積為S，則第一步：

S

6

=m；第二步：

m

=k；第三步：分別用3、4、5乘k，得三邊長”．
（1）當面積S等于150時，請用康熙的“積求勾股法”求出這個直角三角形的三邊長；
（2）你能證明“積求勾股法”的正確性嗎請寫出證明過程．

Answer 1

（1）當S=150時，k=

m

=

S 6

=

150 6

=

25

=5，
所以三邊長分別為：3×5=15，4×5=20，5×5=25；

（2）證明：三邊為3、4、5的整數倍，
設為k倍，則三邊為3k，4k，5k，
而三角形為直角三角形且3k、4k為直角邊．
其面積S=

1

2

（3k）•（4k）=6k²，
∴k²=

S

6

，k=

S 6

（k＞0），
即：將面積除以6，然后開方，即可得到倍數．