Question

【題目】如圖1已知拋物線y=ax2+bx﹣3與x軸相交于A（﹣1，0）、B（3，0），P為拋物線上第四象限上的點．

（1）求該拋物線的函數關系式；

（2）如圖1，過點P作PD⊥x軸于點D，PD交BC于點E，當線段PE的長度最大時，求點P的坐標．

（3）如圖2，當線段PE的長度最大時，作PF⊥BC于點F，連結DF．在射線PD上有一點Q，滿足∠PQB=∠DFB，問在坐標軸上是否存在一點R，使得S△RBE=S△QBE？如果存在，直接寫出R點的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）當m=時，PE最大，此時P（，﹣）；（3）R的坐標為：（﹣，0）或（，0）或（0，）或（0，﹣）．

【解析】

（1）利用待定系數法求出拋物線解析式；

（2）首先求出點C的坐標，再由待定系數法求得直線BC的解析式是y=x﹣3；設P（m，m2﹣2m﹣3）．過點P作PD⊥x軸于點D，PD交BC于點E，從而E（m，m﹣3），故PE=（m﹣3）﹣（m2﹣2m﹣3）=﹣m2+3m=﹣（m）2，從而求得當m時，PE最大，此時P（）；

（3）首先求得點E的坐標，PE長度，進而得出BD的長度，根據點B、C的坐標判斷出△OBC是等腰直角三角形，進而根據勾股定理得到BE的長度，根據對頂角相等推知在直角△PEF中，∠PEF=90°，根據勾股定理得出EF的長度，從而求得BF的長度，然后判斷出△QBE∽△FDB，由相似三角形的對應邊成比例列出方程，求得QE的長度，根據三角形的面積公式求出S△BQE．當R點在x軸上時，設R（n，0），BR=|3﹣n|，根據S△RBE=S△QBE列出方程求得n的值，得出R點的坐標；當點R在y軸上時，設R（0，z），由S△BER=S△BRC﹣S△REC列出方程求得z的值，再求出R點在y軸上時的坐標，從而得出本題的答案．

（1）將A（﹣1，0）、B（3，0）分別代入y=ax2+bx﹣3得：，解得：，所以該拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3；

（2）如圖1，把x=0代入y=x2﹣2x﹣3，得：y=﹣3，∴C（0，﹣3）．

設直線BC的解析式為：y=kx+b，將C（0，﹣3）與B（3，0），分別代入得：，解得：，∴直線BC的解析式為y=x﹣3．

設P（m，m2﹣2m﹣3），則E（m，m﹣3），∴PE=（m﹣3）﹣（m2﹣2m﹣3）=﹣m2+3m=﹣（m）2，故當m時，PE最大，此時P（）；

（3）如圖2，當線段PE的長度最大時，P（），E（），PE，∴D（，0），∴BD．

∵B（3，0），C（0，﹣3），∴OB=OC=3，∴△OBC是等腰直角三角形，∴∠OBC=45°．

在直角△DBE中，∠ABC=45°，BD，∴BE，∠DEB=45°，∴∠PEF=45°．

在直角△PEF中，∠PEF=45°，PE，∴EF，∴BF．

∵∠PQB=∠DFB，∠DBE=∠DEB=45°，∴△QBE∽△FDB，∴，即，∴QE．

∵S△BQEQEDB．

當點R在x軸上時，設R（n，0），BR=|3﹣n|，∴S△RBEBRDE，即|3﹣n|，則|3﹣n|，解得：n1，n2，∴R（，0）或（，0）

當R在y軸上時，設R（0，z），由S△BER=S△BRC﹣S△REC得到：3×|z+3||z+3|

解得：z1，z2，∴R（0，）或（0，）．

綜上所述：符合條件的點R的坐標為：（，0）或（，0）或（0，）或（0，）．