Question

【題目】新定義：對于關于的函數，我們稱函數為函數y的m分函數（其中m為常數）.

例如：對于關于x一次函數的分函數為

（1）若點在關于x的一次函數的分函數上，求的值；

（2）寫出反比例函數的分函數的圖象上y隨x的增大而減小的x的取值范圍： ；

（3）若是二次函數關于x的分函數，

①當時，求y的取值范圍；

②當時，，則的取值范圍為 ；

③若點，連結，當關于的二次函數的分函數，與線段MN有兩個交點，直接寫出m的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）n=3；（2）或；（3）①或；②；③m＜或≤m＜或≤m.

【解析】

（1）首先寫出一次函數 的分函數，然后將點P代入即可求出n；

（2）首先寫出反比例函數的分函數，然后根據反比例函數的增減性進行判定；

（3）①首先寫出二次函數的分函數，然后根據x的取值范圍結合二次函數的性質分別求出對應的y的取值范圍即可；

②首先求出當時，的取值范圍為，當時，，然后根據可知，求出時的值在-3和-4之間（包含-3和-4）對應的x的取值范圍即可；

③畫出和的函數圖像，求出兩函數圖象與y=1的交點的橫坐標，然后結合函數圖象分類討論，分別求出在不同的范圍內與線段MN的交點個數，即可得到符合題意的m的取值范圍.

解：（1）由題意得：，

∵，

∴把代入得，

∴；

（2）由題意得：，

根據函數解析式可知，當或時，y隨x的增大而減��；

（3）①由題意得：，

當時，的圖象y隨x的增大而減小，

把代入，可得，

把代入，可得；

當時，的圖象y隨x的增大而減小，

把代入，可得，

把代入，可得，

綜上，的取值范圍為或；

②∵把代入，可得，

把代入，可得；

∴當時，的取值范圍為，

由①知，當時，，

把y＝－3代入，解得：（負值已舍去），

把y＝－4代入，解得：（負值已舍去），

∴的取值范圍為；

③如圖為和的函數圖像，A、B、C、D分別是兩函數圖象與y=1的交點，

聯立，解得：，

∴A點橫坐標為，D點橫坐標為，

聯立，解得：，

∴B點橫坐標為，C點橫坐標為，

結合函數圖象，分類討論：

①當m＜時，關于的二次函數的分函數，與線段MN有兩個交點；

②當≤m＜時，關于的二次函數的分函數，與線段MN有三個交點；

③當≤m＜時，關于的二次函數的分函數，與線段MN有兩個交點；

④≤m＜時，關于的二次函數的分函數，與線段MN有一個交點；

⑤當≤m時，關于的二次函數的分函數，與線段MN有兩個交點；

綜上所述：m的取值范圍是m＜或≤m＜或≤m.