Question

如圖，BD為⊙O的直徑，點A是弧BC的中點，AD交BC于E點，AE=2，ED=4．
（1）求證：△ABE∽△ABD；
（2）求tan∠ADB的值．

Answer 1

分析：（1）根據已知條件可以推出弧AB與弧AC相等，所以∠ABC=∠ADB，結合圖形，即可推出△ABE∽△ABD，
（2）根據相似三角形的性質，就可推出AB的長度，根據銳角三角函數的定義即可求出tan∠ADB的值．

解答：（1）證明：如圖，連接AC，
∵點A是弧BC的中點，
∴∠ABC=∠ACB，
又∵∠ACB=∠ADB，
∴∠ABC=∠ADB．
又∵∠BAE=∠BAE，
∴△ABE∽△ABD；

（2）解：∵AE=2，ED=4，
∴AD=AE+ED=2+4=6，
∵△ABE∽△ABD，BD為⊙O的直徑，
∴∠BAD=90°，
∵△ABE∽△ABD，
∴

AE

AB

=

AB

AD

，
∴AB²=AE•AD=2×6=12，
∴AB=2

3

，
在Rt△ADB中，tan∠ADB=

2 3

6

=

3

3

．

點評：本題主要考查相似三角形的判定和性質、圓周角定理、銳角三角函數的定義，關鍵在于找到相似三角形，根據相關的定理求出有關邊的長度．