Question

整數x，y滿足方程2xy+x+y=83，則x+y=

 

或

 

．

Answer 1

分析：本題首先通過將2xy+x+y=83等號左右兩邊同乘以一個數加、上一個數，從而使左邊能夠分解因式，右邊變為有很少幾對兩整數相乘的形式．從而根據兩邊的對應關系，進一步求得x、y的值，進而求得x+y的值．

解答：解：∵2xy+x+y=83?4xy+2x+2y=166?4xy+2x+2y+1=167?（2x+1）（2y+1）=167，
∵167是質數，
∴

2x+1=1 2y+1=167

，

2x+1=-1 2y+1=-167

，

2x+1=167 2y+1=1

，

2x+1=-167 2y+1=-1

，
解得

x=0 y=83

，

x=83 y=0

，

x=-1 y=-84

，

x=-84 y=-1

∴x+y=83或者-85
故答案為83，-85．

點評：本題考查一元二次方程的整數根與有理根、質數與合數、解二元一次方程．解決本題的關鍵是將原方程經過適當的變換，轉化為左右兩邊都能分解因式或因數的形式，從而求得結果．