Question

已知：以直線x=1為對稱軸的拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），且經過點（4，

5

4

）和（0，-

3

4

）．點P（x，y）在拋物線的頂點M的右側的半支上（包括頂點M），在x軸上有一點C使△OPC是等腰三角形，OP=PC．
（1）若∠OPC是直角，求點P的坐標；
（2）當點P移動時，過點C作x軸的垂線，交直線AM于點Q，設△AQC的面積為S，求S關于x的函數解析式和自變量x的取值范圍，并畫出它的圖象．

Answer 1

分析：（1）已知拋物線的對稱軸方程以及拋物線圖象上已知的兩點坐標，即可用待定系數法確定該二次函數的解析式，從而求出A、B、M的坐標，由于點P在M點右側的半支上運動，可據此求出x的取值范圍；
①若點P位于第四象限，可過P作x軸的垂線，設垂足為D，由于△OPC是等腰Rt△，則OD=DC=PD=x，根據拋物線的解析式，可表示出P點的縱坐標，聯立PD的長即可列出關于x的方程，求出P點的坐標；
②若點P位于第一象限，過P作PE⊥x軸于E，方法與①相同；
要注意上述兩種情況的自變量的取值范圍，可根據這個條件將不合題意的解舍去；
（2）先求出直線AC的解析式，根據C點的橫坐標，可表示出Q點的坐標，以AC為底，Q點縱坐標的絕對值為高，即可得到△QAC的面積，可由此求出S、x的函數關系，自變量的取值范圍與（1）題相同．

解答：解法一：
（1）設拋物線的解析式為y=a（x-1）²+n（a≠0），
∵拋物線過點（4，

5

4

），（0，-

3

4

），
∴

9a+n= 5 4 a+n=- 3 4

，
解得

a= 1 4 n=-1

；
∴y=

1

4

(x-1)2-1=

1

4

x2-

1

2

x-

3

4

；
∴頂點M的坐標為（1，-1）；
∵拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），
令y=0，
則

1

4

x2-

1

2

x-

3

4

=0，
解得x₁=-1，x₂=3
∴點A的坐標為（-1，0），點B的坐標為（3，0），
∵點P（x，y）在拋物線的頂點M的右側的半支上（包括頂點M），∠OPC是直角，
∴x≥1且x≠3，
在△POC中，OP=PC，∠OPC=90°，
①當1≤x＜3時，點P（x，y）在第四象限內（x＞0，y＜0），過點P作PD⊥x軸于D點，則點D的坐標為（x，0）（如圖1），且PD=OD，
PD=|0-y|=-y，
OD=|x-0|=x，
∴y=-x；
∴-x=

1

4

x2-

1

2

x-

3

4

，
∴x²+2x-3=0；
解得x=1，且x=-3（舍），
∴y=-x=-1；
∴點P的坐標為（1，-1）．
②當x＞3時，點P（x，y）在第一象限內（x＞0，y＞0），
過點P作PE⊥x軸于點E，則點E的坐標為（x，0）（如圖1），
且OE=PE，PE=|0-y|=y，OE=|x-0|=x，
∴y=x，
∴x=

1

4

x2-

1

2

x-

3

4

∴x²-6x-3=0，
解得x=3±2

3

（舍負），
∴y=x=3+2

3

，
∴點P的坐標為（3+2

3

，3+2

3

）．
綜合①②，點P的坐標為（1，-1），或（3+2

3

，3+2

3

）；

（2）設過點A（-1，0），M（1，-1）的直線解析式為y=kx+b（k≠0），
∴

-k+b=0 k+b=-1

，
解得

k=- 1 2 b=- 1 2

；
∴直線AM的解析式為y=-

1

2

x-

1

2

，
∵OP=PC，作PF⊥x軸于F（如圖2），

得OC=2OF，
∵點C在x軸上，
∴點C的坐標為（2x，0）（x≥1且x≠3）；
∵CQ⊥x軸于點C，交直線AM于點Q，
∴點Q的坐標為（2x，-x-

1

2

），
∴S=

1

2

AC•CQ
=

1

2

|2x-（-1）|•|0-（-x-

1

2

）|
=

1

2

（2x+1）（x+

1

2

）
=（x+

1

2

）²
=x²+x+

1

4

；
∴自變量x的取值范圍是x≥1且x≠3，圖象如圖3；
解法二：
（1）接解法一中A（-1，0），B（3，0），
∵PO=PC，
點P（x，y），作PD⊥x軸于點D，則OC=2OD（如圖1），
∴點C的坐標為（2x，0）；
∵∠OPC=90°，
∴OP²+PC²=OC²，
又OP=PC，
∴2OP²=OC²
∴2（y²+x²）=（2x）²；
∴y²=x²；
又∵點P（x，y）在拋物線y=

1

4

x2-

1

2

x-

3

4

上，
∴

y2=x2 y= 1 4 x2- 1 2 x- 3 4

；
解得

x=3+2 3 y=3+2 3     x=3-2 3 y=3-2 3 x=1 y=-1     x=-3 y=3

∵點P在拋物線y=

1

4

x2-

1

2

x-

3

4

的頂點M的右側的半支上（包括頂點M），∠OPC是直角，
∴x≥1且x≠3，
∴點P的坐標為（3+2

3

，3+2

3

），或（1，-1）．
（2）同解法一．

點評：此題考查了二次函數解析式的確定、等腰直角三角形的性質、函數圖象交點及圖形面積的求法、二次函數的應用等知識點，同時還考查了分類討論的數學思想，難度較大．