Question

如圖，等腰△ABC中，AC=BC=6，AB=8．以BC為直徑作⊙O交AB于點D，交AC于點G，DF⊥AC，垂足為F，交CB的延長線于點E．
（1）求證：直線EF是⊙O的切線；
（2）連接BG，求sin∠GBC的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD，根據等腰三角形中等邊對等角即可證得：∠ODB=∠A，則OD∥AC，再依據DF⊥AC，即可證得OD⊥EF，從而證得EF是圓的切線；
（2）根據BG是直角△ABG與直角△BGC的公共邊，依據勾股定理即可得到關于AG的方程，解得AG的長，則依據正切的定義即可求解．
解答：（1）證明：如圖，連接OD，則 OD=OB
∴∠CBA=∠ODB．
∵AC=BC，
∴∠CBA=∠A．
∴∠ODB=∠A．
∵OD∥AC，
∴∠ODE=∠CFE．
∵DF⊥AC于F，
∴∠CFE=90°．
∴∠ODE=90°．
∴OD⊥EF．
∴EF是⊙O的切線．

解：（ 2 ）∵BC是直徑，
∴∠BGC=90°，
設 CG=x，則 AG=AC-CG=6-x．
在Rt△BGA中，BG²=AB²-AG²=8²-（6-x）²．
在Rt△BGC中，BG²=BC²-CG²=6²-x²．
則8²-（6-x）²=6²-x²．
解得  x=，即CG=．
在Rt△BGC中，sin∠GBC==．
點評：本題考查切線的判定及三角函數，證明切線的問題常用的方法是根據切線的判定定理轉化成證明垂直的問題．