Question

如圖是運動會開幕式火炬點燃方式在平面直角坐標系中的示意圖，位于點O正上方2米處的發射裝置A可以向目標點火炬盆C發射一個火球點燃火炬，該火球運行的軌跡為一拋物線，當火球運行到距出發點A水平距離為12米時達到離地面最大高度20米（圖中B點）．火炬盆C距發射裝置A的水平距離為20米，在A點處測得目標點火炬盆C的仰角為α，且tanα=．
（1）求火球運行軌跡的拋物線對應的函數解析式；
（2）說明按（1）中軌跡運行的火球能否點燃目標C？

Answer 1

解：（1）由題意可知拋物線的頂點B坐標為（12，20）可設火球運行拋物線解析式為：
y=a（x-12）²+20，
把點A（0，2）代入解析式得：2=a（0-12）²+20，
解得：a=-，
∴火球運行軌跡的拋物線對應的函數解析式為：
y=-（x-12）²+20=-x²+3x+2；

（2）設C（x₁，y₁），作CF⊥x軸，垂足為F，作AE⊥CF于E，連接AC，
則∠CAE=α，AE=20米，
∵tanα=．
∴，
∴CE=10，
∴CF=12，
∴點C坐標為：（20，12，），
代入y=-x²+3x+2得，左右相等，
所以點C在拋物線上，故能點燃目標．
分析：（1）本題是拋物線的問題，要充分運用拋物線在直角坐標系中的解析式解題，由已知得拋物線的頂點及經過一點，可設拋物線解析式的頂點式．
（2）能，確定C點坐標，根據已知條件，需要解直角三角形；作CF⊥x軸，垂足為F，把問題轉化到直角三角形中解決．
點評：本題考查點的坐標的求法及二次函數的實際應用．此題為數學建模題，借助二次函數解決實際問題．此題既是實際問題，又綜合了幾方面的知識，解這類問題，需要逐層分析，逐步解答，由易到難．