Question

【題目】如圖，在ABCD中，BC=2AB=4，點E、F分別是BC、AD的中點．

（1）求證：△ABE≌△CDF；
（2）當四邊形AECF為菱形時，求出該菱形的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵在ABCD中，AB=CD，

∴BC=AD，∠ABC=∠CDA．

又∵BE=EC= BC，AF=DF= AD，

∴BE=DF．

∴△ABE≌△CDF．

（2）解：∵四邊形AECF為菱形時，

∴AE=EC．

又∵點E是邊BC的中點，

∴BE=EC，即BE=AE．

又BC=2AB=4，

∴AB= BC=BE，

∴AB=BE=AE，即△ABE為等邊三角形，

ABCD的BC邊上的高為2×sin60°= ，

∴菱形AECF的面積為2 ．

【解析】第（1）問要證明三角形全等，由平行四邊形的性質，很容易用SAS證全等．第（2）要求菱形的面積，在第（1）問的基礎上很快知道△ABE為等邊三角形．這樣菱形的高就可求了，用面積公式可求得．考查了全等三角形，四邊形的知識以及邏輯推理能力．（1）用SAS證全等；（2）若四邊形AECF為菱形，則AE=EC=BE=AB，所以△ABE為等邊三角形．