Question

【題目】已知二次函數(shù)y＝﹣x2+x+6及一次函數(shù)y＝﹣x+m，將該二次函數(shù)在x軸上方的圖象沿x軸翻折到x軸下方，圖象的其余部分不變，得到一個新函數(shù)（如圖所示）．

（1）求二次函數(shù)y＝﹣x2+x+6的頂點坐標和x軸的交點坐標；

（2）直接寫出新函數(shù)對應的解析式；

（3）當直線y＝﹣x+m與新圖象有四個交點時，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）頂點坐標為（，），和x軸的交點坐標（﹣2，0），（3，0）；（2）當x＜﹣2或x＞3時，y＝﹣x2+x+6；當﹣2≤x≤3時，y＝x2﹣x﹣6；（3）m的取值范圍為﹣6＜m＜﹣2．

【解析】

（1）令y=0，解方程﹣x2+x+6=0，可得與x軸交點坐標為（﹣2，0），（3，0），把解析式化成頂點式，即可求得頂點坐標；

（2）利用折疊的性質求出折疊部分的解析式為y=（x+2）（x﹣3），即y=x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3），故可得出新函數(shù)對應的解析式；

（3）求出直線y=﹣x+m經過點A（﹣2，0）時m的值和當直線y=﹣x+m與拋物線y=x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）有唯一公共點時m的值，從而得到當直線y=﹣x+m與新圖象有4個交點時，m的取值范圍．

（1）如圖，當y=0時，即﹣x2+x+6=0，

解得：x1=﹣2，x2=3，

則與x軸交點坐標為（﹣2，0），（3，0）．

∵y=﹣x2+x+6=﹣（x）2，

∴頂點坐標為（，）；

（2）將該二次函數(shù)在x軸上方的圖象沿x軸翻折到x軸下方的部分圖象的解析式為y=（x+2）（x﹣3），即y=x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3），

故當x＜﹣2或x＞3時，y=﹣x2+x+6；

當﹣2≤x≤3時，y=x2﹣x﹣6；

（3）當直線y=﹣x+m經過點A（﹣2，0）時，2+m=0，解得：m=﹣2；

當直線y=﹣x+m與拋物線y=x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）有唯一公共點時，即方程x2﹣x﹣6=﹣x+m有兩個相等的實數(shù)解，整理得：x2﹣6﹣m=0，

則△=-4（-6-m）=0

解得：m=﹣6，

所以當直線y=﹣x+m與新圖象有4個交點時，m的取值范圍為﹣6＜m＜﹣2．