Question

已知：如圖，AB是⊙O的直徑，F，C是⊙O上兩點，且=，過C點作DE⊥AF的延長線于E點，交AB的延長線于D點．
（1）試判斷DE與⊙O的位置關系，并證明你的結論；
（2）試判斷∠BCD與∠BAC的大小關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用平行線判定定理得出CO∥AE，進而得出CO⊥DE，利用切線的判定定理得出即可．
（2）利用圓周角定理得出∠OCB+∠2=90°，進而得出利用∠1=∠2，得出∠1=∠BCD即可得出答案．
解答：（1）DE與⊙O的位置關系是：DE是⊙O的切線；
證明：如圖所示，連接CO，
∵AO=CO，
∴∠1=∠2，
∵=，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴CO∥AE，
∵DE⊥AF，
∴CO⊥DE，
∴DE是⊙O的切線；

（2）∠BCD與∠BAC的大小關系為：∠BCD=∠BAC，
證明：∵CO⊥DE，
∴∠OCD=90°，
∴∠OCB+∠BCD=90°，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠BCA=90°，即∠OCB+∠2=90°，
∴∠2=∠BCD，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠BCD，
即∠BCD=∠BAC．
點評：此題主要考查了切線的判定定理和圓周角定理、平行線判定定理等知識，根據已知得出∠1=∠3以及∠OCB+∠2=90°是解決問題的關鍵．