Question

如圖，已知拋物線與x軸交于A(－1，0)、E(3，0)兩點，與y軸交于點B(0，3)．

(1)求拋物線的解析式；

(2)設拋物線的頂點為D，求四邊形AEDB的面積；

(3)△AOB與△DBE是否相似？如果相似，請給出證明；如果不相似，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)因為拋物線與y軸交于點(0，3)， 　　所以設拋物線的解析式為y＝ax2＋bx＋3(a≠0)． 　　根據題意，得a－b＋3＝0，9a＋3b＋3＝0， 　　解得a＝－1，b＝2． 　　所以拋物線的解析式為y＝－x2＋2x＋3． 　　(2)由頂點坐標公式得頂點坐標為D(1，4)， 　　設對稱軸與x軸的交點為F， 　　所以四邊形ABDE的面積＝S△AOB＋S梯形BOFD＋S△DFE＝AO·BO＋(BO＋DF)·OF＋EF·DF＝×1×3＋×(3＋4)×1＋×2×4＝9． 　　(3)相似． 　　如圖，過點B作BG⊥DF，垂足為G． 　　BD＝＝＝， 　　BE＝＝＝3， 　　DE＝＝＝2． 　　所以BD2＋BE2＝20，DE2＝20． 　　即BD2＋BE2＝DE2， 　　所以△BDE是直角三角形． 　　所以∠AOB＝∠DBE＝90°， 　　且＝＝， 　　所以△AOB∽△DBE．