Question

在△ABC中，∠C=90°，AC，BC的長分別是b，a，且cotB=AB•cosA．
（1）求證：b²=a；
（2）若b=2，拋物線y=m（x-b）²+a與直線y=x+4交于點M（x₁，y₁）和點N（x₂，y₂），且△MON的面積為6（O是坐標原點）．求m的值；
（3）若n2=

4a

b2

，p-q-3=0，拋物線y=n（x²+px+3q）與x軸的兩個交點中，一個交點在原點的右側，試判斷拋物線與y軸的交點是在y軸的正半軸還是負半軸，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據銳角三角函數的定義把三角函數值化成對應邊的比即可．
（2）根據（1）中所求a、b的值代入二次函數的解析式，解關于一次函數與二次函數的方程組，求出m的取值范圍，過O作OD⊥MN于D，由直線的解析式求出直線與兩坐標軸的交點，根據三角形的面積公式可求出MN的值，找出兩交點橫縱坐標之間的關系，根據一元二次方程根與系數的關系即可求出m的值．
（3）由（1）中所求a、b的值代入關系式，可求出n的值，再根據p、q的關系可把一個未知數當作已知表示出另一個未知數，代入二次函數的關系式，根據已知條件判斷出未知數的符號，再根據n的值試判斷拋物線與y軸的交點是在y軸的正半軸還是負半軸．

解答：證明：（1）∵cosB=

a

b

，cosA=

b

AB

，
∵cotB=AB•cotB=

a

b

，cosA=

b

AB

，
∵cotB=AB•cosA，∴

a

b

=AB•

b

AB

，
∴a=b²

（2）∵b=2且a=b²故a=4
∴y=m（x-2）²+4
由

y=m(x-2)2+4 y=x+4

，
得mx²-（4m+1）x+4m=0①
要使拋物線與直線有交點，則方程①中△＞0
得m＞-

1

8

過O作OD⊥MN于D，設E、F為直線y=x+4與坐標軸的交點，則E（-4，0），F（0，4）
∴DO=2

2

又∵S_△MON=

1

2

•OD•MN=6，
∴MN=

6

2

=3

2

過M、N分別作x軸、y軸的平行線交于點P
則|MP|=|x₂-x₁|，NP=|y₂-y₁|，
又∵y₂=x₂+4，y₁=x₁+4，即|NP|=|x₂-x₁|
故|MN|=

2

|x₂-x₁|，
∴|x₂-x₁|=3
即（x₂-x₁）₂=9
由方程①得

x1+x2= 4m+1 m x1x2=4

∴（

4m+1

m

）²-4×4=9
得m=1或m=-

1

9

；

（3）∵n²=

4a

b2

且b²=a
∴n²=4?n=±2
又p-q-3=0，
即p=q+3，即y=n[x²+（q+3）x+3q]=n（x+3）（x+q）
∵拋物線與x軸的兩個交點中有一個在原點右側，故q＜0
而拋物線與y軸交點為（0，3nq）
∴當n=2時，3nq＜0，交y軸于負半軸
當n=-2時，3nq＞0，交y軸于正半軸．

點評：此類題目很復雜，一般作為中考壓軸題，解答此類題目的關鍵是熟知一次函數，二次函數圖象上點的坐標特點，一元二次方程根與系數的關系及坐標系內各象限橫縱坐標的特點，需同學們熟練掌握．