Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，點E是BC上的一個動點，過點E作EF⊥BD于點F，EG⊥AC于點G，CH⊥BD于點H，

（1）試證明：CH=EF+EG

（2）若點E在BC的延長線上，如圖2，過點E作EF⊥BD于點F，EG⊥AC的延長線于點G，CH⊥BD于點H，則CH、EF、EG之間有怎樣的數量關系，直接寫出你的猜想；

（3）如圖3，BD是正方形ABCD的對角線，L在BD上，且BL=BC，連接CL，點E是CL上一點，EF⊥BD于點F，EG⊥BC于點G，猜想EF、EG、BD之間具有怎樣的數量關系，直接寫出你的猜想

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2）CH=EF-EG；（3）EF+EG= BD

【解析】

（1）要證明CH=EF+EG，首先要想到能否把線段CH分成兩條線段而加以證明，就自然的想到添加輔助線，若作CE⊥NH于N，可得矩形EFHN，很明顯只需證明EG=CN，最后根據AAS可求證△EGC≌△CNE得出結論．

（2）過C點作CO⊥EF于O，可得矩形HCOF，因為HC=FO，所以只需證明EO=EG，最后根據AAS可求證△COE≌△CGE得出猜想．

（3）連接BE和AC，交BD于O，由正方形的性質得出AC⊥BD，OA=OB=OC=OD，由三角形面積關系得出S△BCH=S△BCE+S△BHE，證出OC=EG+EF，即可得出結論．

（1）證明：過E點作EN⊥CH于N．

∵EF⊥BD，CH⊥BD，

∴四邊形EFHN是矩形．

∴EF=NH，FH∥EN．

∴∠DBC=∠NEC．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AC=BD，且互相平分

∴∠DBC=∠ACB

∴∠NEC=∠ACB

∵EG⊥AC，EN⊥CH，

∴∠EGC=∠CNE=90°，

又∵EC=CE，

∴△EGC≌△CNE．

∴EG=CN

∴CH=CN+NH=EG+EF；

（2）解：猜想CH=EF-EG；

過C點作CO⊥EF于O，

∵EF⊥BD，CH⊥BD，

易得四邊形COFH為矩形，

∴CH=OF，

由（1）得∠DBC=∠ACB

又CO∥BD，

∴∠OCE=∠DBC，且∠ECG=∠ACB，

∴∠OCE=∠GCE

又CE=CE，

∴△COE≌△CGE

∴EO=EG

∴CH=EF-EO=EF-EG;

（3）解：EF+EG=BD；

連接BE和AC，交BD于O，如圖3所示：

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AC⊥BD，OA=OB=OC=OD，

∵EF⊥BD于點F，EG⊥BC于點G，

∵S△BCH=S△BCE+S△BHE，

∴BHOC=BCEG+BHEF，

∴OC=EG+EF，

∴EF+EG=BD；