Question

在圖1至圖3中，點B是線段AC的中點，點D是線段CE的中點．四邊形BCGF和CDHN都是正方形．AE的中點是M．

（1）如圖1，點E在AC的延長線上，點N與點G重合時，點M與點C重合，求證：FM = MH，FM⊥MH；

（2）將圖1中的CE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)一個銳角，得到圖23-2，求證：△FMH是等腰直角三角形；

（3）將圖23-2中的CE縮短到圖23-3的情況，△FMH還是等腰直角三角形嗎？（直接寫出結(jié)論，不必證明）．

 

 

 

Answer 1

（1）證明：∵四邊形BCGF和CDHN都是正方形，

又∵點N與點G重合，點M與點C重合，

∴FB = BM = MG = MD = DH，∠FBM =∠MDH = 90°．

∴△FBM ≌ △MDH．∴FM = MH

∵∠FMB =∠DMH = 45°，∴∠FMH = 90°．∴FM⊥HM

（2）證明：連接MB、MD，如圖23-2，設FM與AC交于點P．

∵B、D、M分別是AC、CE、AE的中點，

∴MD∥BC，且MD = BC = BF；MB∥CD，

且MB=CD=DH

∴四邊形BCDM是平行四邊形．∴ ∠CBM =∠CDM

又∵∠FBP =∠HDC，∴∠FBM =∠MDH．∴△FBM ≌ △MDH

∴FM = MH， 且∠MFB =∠HMD

又∵MD∥BC，∴∠FMD＝∠APM，

∴∠FMH =∠FMD－∠HMD =∠APM－∠MFB =∠FBP = 90°．

∴△FMH是等腰直角三角形

（3）解：△FMH是等腰直角三角形…