Question

【題目】通過類比聯想、引申拓展研究典型題目，可達到解一題知一類的目的．下面是一個案例．

原題：如圖①，點分別在正方形的邊上，，連接，則，試說明理由．

（1）思路梳理

因為，所以把繞點逆時針旋轉90°至，可使與 重合．因為，所以，點共線．

根據 ，易證 ，得.請證明．

（2）類比引申

如圖②，四邊形中，，，點分別在邊上，.若都不是直角，則當與滿足等量關系時，仍然成立，請證明．

（3）聯想拓展

如圖③，在中，，點均在邊上，且.猜想應滿足的等量關系，并寫出證明過程．

Answer 1

【答案】（1）SAS，△AFE；（2）；（3）．

【解析】

（1）把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG，可使AB與AD重合，再證明△AFG≌△AFE進而得到EF=FG，即可得EF=BE+DF；

（2）∠B+∠D=180°時，EF=BE+DF，與（1）的證法類同；

（3）根據△AEC繞點A順時針旋轉90°得到△ABE′，根據旋轉的性質，可知△AEC≌△ABE′得到BE′=EC，AE′=AE，∠C=∠ABE′，∠EAC=∠E′AB，根據Rt△ABC中的，AB=AC得到∠E′BD=90°，所以E′B2+BD2=E′D2，證△AE′D≌△AED，利用DE=DE′得到DE2=BD2+EC2；

（1）∵AB=AD，

∴把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG，可使AB與AD重合，

∴∠BAE=∠DAG，

∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，

∴∠BAE+∠DAF=45°，

∴∠EAF=∠FAG，

∵∠ADC=∠B=90°，

∴∠FDG=180°，點F、D、G共線，在△AFE和△AFG中，

∵AE=AG，∠EAF=∠FAG，AF=AF，

∴△AFE≌△AFG（SAS），

∴EF=FG，即：EF=BE+DF．

（2）∠B+∠D=180°時，EF=BE+DF；

∵AB=AD，

∴把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG，可使AB與AD重合，

∴∠BAE=∠DAG，

∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，

∴∠BAE+∠DAF=45°，

∴∠EAF=∠FAG，

∵∠ADC+∠B=180°，

∴∠FDG=180°，點F、D、G共線，

在△AFE和△AFG中，

∵AE=AG，∠FAE=∠FAG，AF=AF，

∴△AFE≌△AFG（SAS），

∴EF=FG，即：EF=BE+DF．

（3）猜想：DE2=BD2+EC2，理由如下：

根據ΔABD繞點A逆時針旋轉90°得到ΔACD′，如圖，連接ED′．

∴ΔABDΔACD′．

∴CD′=BD，AD′=AD，∠B=∠ACD′，∠BAD=∠D′ AC．

在RtΔABC中，∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=45°．

∴∠ACB+∠ACD′=90°，即∠D′ CE=90°，

∴D’C2+CE2=D′E2．

又∵∠DAE=45°，

∴∠BAD+∠EAC=45°．

∴∠D′AC+∠EAC=45°，即∠D′ AE=45°．

∴ΔAD′ EΔADE，

∴ED=ED′，

∴DE2=BD2+EC2．