Question

已知矩形紙片的長為4，寬為3，以長所在的直線為x軸，O為坐標原點建立平面直角坐標系；點P是OA邊上的動點（與點不重合），現將沿PC翻折得到，再在邊上選取適當的點D，將沿翻折，得到，使得直線重合．
（1）若點E落在邊上，如圖①，求點的坐標，并求過此三點的拋物線的函數關系式；
（2）若點E落在矩形紙片的內部，如圖②，設當x為何值時，y取得最大值？
（3）在（1）的情況下，過點三點的拋物線上是否存在點Q，使是以為直角邊的直角三角形？若不存在，說明理由；若存在，求出點Q的坐標。

Answer 1

解：（1）由題意知，均為等腰直角三角形， 可得  設過此三點的拋物線為 則  ∴過三點的拋物線的函數關系式為 （2）由已知平分平分且重合， 則 又． ． 即  ∴ 當時，y有最大值 （3）假設存在，分兩種情況討論： ①當時，由題意可知，且點C在拋物線上， 故點C與點Q重合， 所求的點Q為（0，3）  ②當時，過點D作平行于PC的直線， 假設直線交拋物線于另一點Q， ∵點 ∴直線的方程為，將直線向上平移2個單位與直線重合， ∴直線的方程為 由得或 又點 故該拋物線上存在兩點滿足條件．